Теоретические сведения

Метод Барроу является статистическим методом и используется для анализа фрактальных свойств одномерных рядов. В рассматриваемом методе в качестве параметров, характеризующих фрактальность, выступают фрактальная размерность D и степень долговременной корреляции С.

Описание метода

Пусть имеется ряд наблюдений {x₁, x₂, …, x_N} некоторой величины X объема данных N. Находится средняя дисперсия приращений W, как функция задержки ΔN:

, где 1≤ΔN≤N-1. (2.1)

Зависимость W=f(ΔN) описывается теоретической моделью:

W=(a*ΔN)^В, (2.2)

где а – некоторая постоянная для конкретного ряда данных, 0≤В≤1 – показатель Барроу, который эквивалентен показателю Херста Н, т.е. ВН. Фрактальная размерность D определяется как:

D=2-В. (2.3)

Показатель Барроу В используется также для определения степени долговременной корреляции (статистической зависимости) между прошлыми приращениями и будущими. В теории фракталов эта зависимость определяется выражением:

C=2^2В-1-1. (2.4)

Для нахождения показателя БарроуВ зависимость W=f(ΔN) строится в двойном логарифмическом масштабе (рисунок 2.1), затем полученные экспериментальные точки аппроксимируются прямой, угловой коэффициент которой есть В.

Вся область фрактальности ограничена линиями В=0 и В=1. Прямой В=0.5 данная область делится на персистентную и антиперсистентную (на рисунке 2.1 области П и А соответственно). Персистентность означает, что если в течение некоторого времени t среднее значение процесса имело тенденцию к возрастанию, то в течение последующего интервала той же длительности t наиболее вероятно сохранение тенденции к возрастанию. И наоборот, если среднее значение процесса в течение некоторого времени t имеет тенденцию к убыванию, то наиболее вероятно, что в течение последующего интервала той же длительности t сохранится тенденция к убыванию. Коэффициент долговременной корреляции при В>0.5 всегда положителен (см. формулу (2.4)), а при В<0.5 — отрицателен. Поэтому при антиперсистентности после возрастания переменной в течение времени t обычно происходит ее убывание в последующий такой же интервал времени, а при убывании — возрастание. Случай В=0.5, соответствует обычному броуновскому движению, в котором отсутствует долговременная корреляция (на рисунке 2.1 область С).

Технология выполнения работы

1. Запустить MS Excel и открыть чистый лист. Дать имя книге и сохранить файл (в дальнейшем не забывать периодически сохранять вносимые изменения).

2. Импортировать исходные данные из файла в область «Исходные данные» (рисунок 2.2) следующим образом:

–открыть файл с данными в новой книге;

–если необходимо, сделать соответствующие замены в формате данных, чтобы преобразовать их числовую форму (например, заменить точки, разделяющие целую и дробную части, на запятые);

–скопировать полученные и преобразованные данные в область «Исходные данные».

3. В область «Индексы данных» добавить порядковые номера исходных данных.

4. Построить график исходных данных с помощью мастера диаграмм и поместить его область «График исходных данных».

5. Используя мастер функций, определить объем исследуемых данных N и результат поместить в область «Выходные параметры».

6. Определить задержки ΔN, в которых будет вычисляться средняя дисперсия приращений по следующим правилам:

–на интервале от 1 до 10 задержки берутся с шагом 1;

–на интервале от 10 до 100 задержки берутся с шагом 10;

–на интервале от 100 до 1000 задержки берутся с шагом 100;

–на интервале от 1000 до 10000 задержки берутся с шагом 500;

–на интервале от 10000 и более задержки берутся с шагом 5000;

–задержка N-1 – последняя задержка.

Выбранные задержки ΔN фиксируются в строке «ΔN» области «Вычисление средней дисперсии приращений».

7. Находятся значения приращений при каждой задержке ΔN по формуле (2.1) и результат заносится в строки «X_1+ΔN–X₁», «X_2+ΔN–X₂» и т.д. области «Вычисление средней дисперсии приращений».

8. Находится количество усредняемых приращений при каждой задержке ΔN. Результат заносится в строку «N-ΔN» области «Вычисление средней дисперсии приращений».

Рисунок 2.2 – Расположение элементов на листе MS Excel при реализации метода Барроу

9. Вычисляется средняя дисперсия приращений W по формуле (2.1) при каждой задержке ΔN и результат заносится в строку «W» области «Вычисление средней дисперсии приращений».

10. Вычисляются десятичные логарифмы W и ΔN. Результаты заносятся в область «Координаты точек для фрактальной плоскости».

11. Используя мастер диаграмм, вывести фрактальную плоскость метода Барроу в одноименную область и добавить линию тренда.

12. Вычислить угловой коэффициент аппроксимирующей линии тренда k – показатель Барроу В. Результат поместить в область «Выходные параметры».

Коэффициент k находится по методу наименьших квадратов следующим образом. Пусть имеется ряд точек с координатами (x₁;y₁), (x₂;y₂), … ,(x_i;y_i), … ,(x_n;y_n), которые аппроксимируются линейной зависимостью, описываемой уравнением:

Y_p=kX_p+b.

Тогда коэффициенты данного уравнения линейной зависимости находятся как:

;

.

13. Вычислить фрактальную размерность D по формуле (2.3) и результат поместить в область «Выходные параметры».

14. Вычислить степень долговременной корреляции С по формуле (2.4) и результат поместить в область «Выходные параметры».

15. Проверить правильность реализации метода Барроу, путем определения В у рядов с известными фрактальными свойствами (таблица 2.2).

Таблица 2.2

Названия файлов, содержащих эталонные данные

Вт	0.2	0.5	1
Имя файла	etalon.b02	etalon.b05	etalon.b1

Оценить погрешность нахождения B по формуле:

γ=(B-B_т)/B_т*100%,

где B – экспериментальный показатель Барроу,

B_т – теоретический показатель Барроу.

Погрешность не должна превышать 20%, в противном случае необходимо пересмотреть реализацию данного метода.

16. Определить фрактальные характеристики данных из других файлов.

17. Составить отчет о проделанной работе в MS Word.