Теоретические сведения

МСТПВТ является одним из основных методов, на котором реализуются фрактальные генераторы сигналов. Данный метод использует случайные числа, поэтому генерируемые сигналы носят случайных характер и являются уникальными.

Описание МСТПВТ

Пусть сигнал Xпротекает во времени и имеет координатых₀, х₁, х₂,…, х_N, гдеN–объем данных. Примем исходные значения координат x₀, x_N/2, x_Nравными нулю, а начальное значение дисперсии для случайных чисел σ²=1.

Итерация 1.К значениям координатx₀, x_N/2, x_Nприбавляются случайные числа, выбранные из нормального распределения с нулевым средним и единичной дисперсией (алгоритм получения подобных чисел смотрите ниже),σ₁²=σ²=1(линия 1 на рисунке 7.1).

.

Итерация 2. Средние значения времени на каждом интервале рассматриваются как дополнительные координаты на оси времени –N/4и3N/4, значения координат в них оценивается интерполяцией, т.е.:

,. (7.1)

Теперь выделены моменты времени 0, N/4, N/2, 3N/4, N. И снова ко всем значениям координатx₀, x_N/4, x_N/2, x_3N/4, x_Nприбавляются случайные числа (линия 2 на рисунке 7.1) из нормального закона распределения с нулевым средним и уменьшенной дисперсиейσ₂²=(1/2)^2Нσ₁², гдеНпоказатель Херста.

Итерация 3. Средние значения времени на каждом интервале рассматриваются как дополнительные координаты на оси времени –N/8,3N/8,5N/8 и7N/8, значения координат в них оценивается интерполяцией, т.е.:

,,,. (7.2)

Теперь выделены девять моментов времени 0, N/8, N/4, 3N/8, N/2, 5N/8, 3N/4, 7N/8, N. И вновь ко всем значениям координатx₀, x_N/8, x_N/4, x_3N/8, x_N/2, x_5N/8, x_3N/4, x_7N/8, x_Nприбавляются случайные числа (линия 3 на рисунке 7.1) из нормального закона распределения с нулевым средним и уменьшенной дисперсиейσ₃²=(1/2)^2Нσ₂².

Итерация m. Послеm-кратного применения этого алгоритма получается случайный процесс в(1+2^m)моментов времени. Дисперсия слагаемыхm-го поколения равна:

. (7.3)

где σ²– начальное значение дисперсии,Нпоказатель Херста.

На рисунке 7.2 показаны кривые, полученные по данному алгоритму, при различных значениях показателя Херста Н. Кривые рассчитывались для 4097 моментов времени.

Случайное число Х_сл, взятое из нормального закона распределения с нулевым средним и дисперсией σ², может быть получено как:

, (7.4)

где Х^Р_сл – случайное число, взятое из равномерного закона распределения и принимающее значения от 0 до 1.

Технология выполнения работы

1. Запустить MS Excel и открыть чистый лист. Дать имя книге и сохранить файл (в дальнейшем не забывать периодически сохранять вносимые изменения).

2. Используя данные таблицы 7.1, заполнить строки «Показатель Херста Н=» и «Объем данных N=» области «Входные параметры» (рисунок 7.3).

3. В строке «Начальное СКО σ=» области «Входные параметры» указать начальное значение среднеквадратического отклонения (СКО) – квадратный корень из дисперсии – для случайных чисел.

Рисунок 7.3 – Расположение элементов на листе MS Excel при реализации фрактального генератора.

4. Определить количество итераций m, необходимых для получения выходного сигнала, используя условие:

(2^m+1)≥N,

где N – объем данных, взятый из таблицы 7.1. Результат внести в строку «Кол-во итераций m=» области «Входные параметры». В дальнейшем, для простоты объяснения примем m=10.

5. В строке «m» области «Итерации» указываются номера итераций.

6. Используя формулу (7.3) определить СКО для каждой итерации и результаты поместить в строке «σ_m» области «Итерации».

7. Определить координаты (моменты времени) сигнала для расчитанного количества итераций m: 0, 1, 2, … , 2^m. Результат внести в область «Координаты».

8. Для каждой итерации определить шаг между координатами, к значениям которых будут добавляться случайные числа в данной итерации. Результат поместить в заголовок левого столбца области «Итерация m». Например, для m=10 шаг для первой итерации равен 512, для второй – 256 и т.д. Для итерации m шаг всегда равен 1. Правый столбец каждой из областей «Итерация m» (поле «+сл») будет содержать сумму случайных чисел и тех значений координат, которые участвуют в данной итерации и определены в левом столбце.

9. В левый столбец области «Итерация 1» помещаются нулевые значения в координатах 0, 512 и 1024.

10. Ко всем значениям координат, определенным в предыдущем пункте левого столбца области «Итерация 1» прибавляются случайные числа выбранные из нормального закона распределения с нулемым средним и дисперсией σ₁². Результат сохраняется в правом столбце той же области. В MS Excel такие случайные числа можно получить используя функцию СЛЧИС(), которая генерирует случайные числа из равномерного закона распределения в диапазоне от 0 до 1. Таким образом, формулу (7.4) для m-ой итерации можно преобразовать:

.

11. В левый столбец области «Итерация 2» копируются значения координат в точках 0, 512 и 1024 из правого столбца области «Итерация 1».

12. По формулам (7.1) находятся значения координат в новых точках 256 и 768. Теперь выделены координаты 0, 256, 512, 768 и 1024.

13. Ко всем значениям координат, определенным в предыдущем пункте левого столбца области «Итерация 2» прибавляются случайные числа выбранные из нормального закона распределения с нулемым средним и дисперсией σ₂².

14. Используя МСТПВТ, повторить по аналогии пункты 11-13 для остальных итераций.

15. Поместить в область «Значения координат» данные объема N из правого столбца области «Итерация 10».

16. По данным областей «Координаты» и «Значения координат» построить график сигнала (объема N) и поместить его в одноименную область.

17. Сгенерировать фрактальные ряды для других показателей Херста Н (таблица 7.1).

18. Определить показатель Херста Н у полученных рядов с помощью метода Херста. Разница между заданным и полученным показателем Херста не должна превышать 20%.

19. Составить отчет о проделанной работе в MS Word.