Теоретические сведения

Vz-метод является статистическим методом, позволяющим анализировать фрактальные свойства и проводить классификацию одномерных рядов.

Описание метода

Пусть имеется дискретный ряд наблюдений {x₁, x₂, …, x_N} некоторой величины X. N – объем данных, X_ср – среднее арифметическое ряда наблюдений (рисунок 6.1):

. (6.1)

Пусть Z - накопленное отклонение ряда X от среднего (см. рисунок 6.1), которое определяется в каждом дискрете X. Пусть u – некоторая переменная принимающая значение от 1 до N, тогда z_u – накопленное отклонение ряда X в точке u находится через X_срu – среднее значение X на участке [1;u]:

, где ,1≤u≤N. (6.2)

Разность между максимальным и минимальным значениями накопленного отклонения Z на участке [1;u] называется размахом накопленного отклонения– R_u:

. (6.3)

Пусть Х_пр – функция приращения ряда Х:

х_прi=x_i+1 – x_i, 1≤i≤N-1. (6.4)

Разность между максимальным и минимальным значениями функции приращения X_пр на участке [1;u] называется размахом приращения ряда наблюдений – R_прu:

. (6.5)

На основании полученных данных определяется параметр V_z– отношение размаха накопленного отклоненияR_uк размаху приращенияR_прuпри2≤u≤N-1:

V_zu=R_u/R_прu. (6.6)

Для большей линеаризации полученные точки строятся в двойном логарифмическом масштабе (рисунок 6.2) и в первом приближении аппроксимируются линейной зависимостью вида:

Lg(V_z)=А+Z*lg(N), (6.7)

где А иZ – некоторые постоянные для конкретного сигнала, которые являются классифицирующими для данного метода.

Рисунок 6.2 – Фрактальная плоскость V_z-метода с построенными на ней экспериментальными точками при 2≤u≤N-1, аппроксимированными линейной зависимостью.

Сигналы, имеющие постоянный или переменный период – колебательные сигналы, отображаются на плоскости V_z-метода с характернымиуровнями насыщения(УН) (рисунок 6.3) и описываются экспоненциальной зависимостью:

, (6.8)

где a_э,b_э,c_э некоторые постоянные для данного сигнала. Для подобных сигналов оцениваетсяквазипериод N^*(кажущийся период), который можно вычислить следующим образом:

–полученные экспериментальные точки V_z-функции аппроксимируются экспоненциальной зависимостью (6.8) — линияk;

–полученные экспериментальные точки V_z-функции аппроксимируются линейной зависимостьюLg(V_z)=a_л+b_лlg(N) —линияm;

–значение N^*находится как:

. (6.9)

Модель (6.8) является единой для описания всех V_z-функции на плоскости метода. Однако при описанииV_z-функций близких к линейным модель (6.8) переходит в (6.7) при условии:

, (6.10)

где N_max полный объем анализируемых данных.

На основе данного метода была создана идентификационная плоскость АZ-параметров. По значениюс_эиз выражения (6.8) оценивается колебательность процесса. Если условие (6.10) выполняется, то процесс не является колебательным и идентификация проводится по параметрам линейной модели (6.7), при этомZ=b_э/c_э,A=а_э-b_э. В противном случае, оценивается квазипериод колебательного процесса по формуле (6.9).

На рисунке 6.4 представлена идентификационная плоскость параметров V_z-метода, разбитая на фрактальные области:колебательную,линейную,детерминированную,стационарную,квазистационарную, фрактальную, ультрафрактальнуюиультралинейную. В колебательной области лежат процессы, имеющие колебательный характер. В линейную область попадают процессы с абсолютно линейной зависимостью, не имеющие шумовой компоненты. Детерминированную область занимают процессы с четко выраженным детерминированным трендом. Стационарную область занимают случайные стационарные процессы, не имеющие тренда.

Рисунок 6.4 – Идентификационная плоскость V_z- метода.

В квазистационарную область ложатся процессы с неявно выраженной переменной трендовой составляющей. Во фрактальной области процессы характеризуются наличием трендовой составляющей с переменным (0.86<Z<1.26) и постоянным (1.26<Z<1.53) трендом. В ультрафрактальной области процессы имеют постоянный нелинейный тренд. В ультралинейной области процессы характеризуются постоянным, ультрамонотонным трендом.

Рисунок 6.4 проиллюстрирован сигналами с характерными формами для той области, в которой они расположены. Стрелками показана динамика фрактальных характеристик сигналов, в зависимости от изменения их формы. Широкой стрелкой показано движение сигналов на идентификационной плоскости V_z-метода при увеличение в них шумовой компоненты, т.е. уменьшение отношения сигнал-шум (ОСШ). Жирной пунктирной линией, расположенной под углом примерно в -45º относительно оси Z, показана критическая граница, дойдя до которой, сигнал, с увеличивающейся в нем шумовой компонентой, перестает «падать» и направляется в область стационарности.

Характерным свойством для линейных сигналов является то, что при уменьшении ОСШ они движутся до критической границы вдоль линии примерно Z=2. С увеличением степени нелинейности ультрамонотонных сигналов, они смещаются вправо-вниз, а при увеличении в них уровня шума — стремятся вниз к критической границе. Уменьшение ОСШ в колебательных процессах ведет к перемещению их в области стационарности или квазистационарности.