Лабораторная работа №1 Метод Херста (ms Excel) Цель работы

Реализация метода Херста и его применение к анализу данных.

Задание к работе

1. Изучить метод Херста.

2. Реализовать метод Херста, максимально используя возможности MS Excel, и определить показатель Херста Н, фрактальную размерность D и степень долговременной корреляции С у различных данных, представленных в виде сигналов (названия файлов, содержащие оцифрованные сигналы, в зависимости от номера группы студентов указанны в таблице 1.1).

Таблица 1.1

Названия файлов, содержащих данные для исследования, указаны

в зависимости от номера группы

№ группы	Имена файлов	Кол-во файлов
1	файлы с типом .01	3
2	файлы с типом .02	3
3	файлы с типом .03	3
4	файлы с типом .04	3
5	файлы с типом .05	3
6	файлы с типом .06	3
7	файлы с типом .07	3
8	файлы с типом .08	3
9	файлы с типом .09	3
10	файлы с типом .10	3
11	файлы с типом .11	3
12	файлы с типом .12	3

3. Отчет о проделанной работе сформировать в MS Word.

Теоретические сведения

Метод Херста (он же R/S-метод) является статистическим методом и используется для анализа фрактальных свойств одномерных рядов. В данном случае под фрактальностью понимается фрактальная размерность D и степень долговременной корреляции С.

Описание метода

Пусть имеется дискретный ряд наблюдений {x₁, x₂, …, x_N} некоторой величины X. N-объем данных, X_ср – среднее арифметическое ряда наблюдений (рисунок 1.1):

. (1.1)

Примем за S среднеквадратичное отклонение ряда (СКО):

. (1.2)

Пусть Z - накопленное отклонение ряда X от среднего (см. рисунок 1.1), которое определяется в каждом дискрете X. Пусть u – некоторая переменная принимающая значение от 1 до N, тогда z_u – накопленное отклонение ряда X в точке u находится через X_срu – среднее значение X на участке [1;u]:

, где ,1≤u≤N. (1.3)

Разность между максимальным и минимальным значениями накопленного отклонения Z на участке [1;u] называется размахом накопленного отклонения– R_u:

. (1.4)

На основании полученных данных вычисляется параметр Херста R/S – отношение размаха накопленного отклонения R_u к СКО ряда S при 1≤u≤N. Зависимость R/S=f(N) описывается теоретической моделью, введенной Мандельбротом, для обобщенного броуновского движения:

R/S=(aN)^H, (1.5)

где а – некоторая постоянная для конкретного процесса, 0≤Н≤1 – показатель Херста. Фрактальная размерность D определяется как:

D=2-H. (1.6)

Показатель Херста Н используется также для определения степени долговременной корреляции (статистической зависимости) между прошлыми приращениями и будущими. В теории фракталов эта зависимость определяется выражением:

C=2^2H-1-1. (1.7)

Для нахождения показателя Херста Н зависимость R/S=f(N) строится в двойном логарифмическом масштабе (рисунок 1.2), затем полученные экспериментальные точки аппроксимируются прямой, угловой коэффициент которой есть Н. Вся область фрактальности ограничена линиями с Н=0 и Н=1. Она делится прямой с Н=0.5 на персистентную и антиперсистентную (на рисунке 1.2. области П и А соответственно).

Случай Н=0.5, соответствует обычному броуновскому движению со статистически независимыми данными, в котором отсутствует долговременная корреляция, т.е. С=0 (см. формулу (1.7)). Персистентность означает, что если в течение некоторого времени t среднее значение процесса имело тенденцию к возрастанию, то в течение последующего интервала той же длительности t наиболее вероятно сохранение тенденции к возрастанию. И наоборот, если среднее значение процесса в течение некоторого времени t имеет тенденцию к убыванию, то наиболее вероятно, что в течение последующего интервала той же длительности t сохранится тенденция к убыванию. Коэффициент долговременной корреляции при Н>0.5 всегда положителен (см. формулу (1.7)), а при Н<0.5 — отрицателен. Поэтому при антиперсистентности после возрастания переменной в течение времени t обычно происходит ее убывание в последующий такой же интервал времени, а при убывании — возрастание.