- •Практикум Омск 2006
- •Тема 1. Основные законы электростатики. Расчет напряженности и потенциала электростатического поля. Краткие теоретические сведения для решения задач
- •Электрический заряд. Закон сохранения заряда. Закон Кулона. Напряженность поля.
- •Принцип суперпозиции электрических полей
- •1.3. Поток напряжённости. Теорема Гаусса для электростатического поля в вакууме
- •1.4. Потенциал электростатического поля
- •1.6. Электрическое поле в диэлектрических средах. Дипольные моменты молекул диэлектрика. Поляризация диэлектрика
- •1.7. Теорема Гаусса для электростатического поля в среде
- •1.8. Условия для электростатического поля на границе раздела изотропных диэлектрических сред
- •Примеры решения задач
- •Решение
- •Р Рис.1.6ешение
- •Решение
- •Решение
- •Решение
- •Решение
- •Задачи для аудиторных занятий
- •Домашнее задание
- •2.1. Работа сил электростатического поля по перемещению заряда
- •2.2. Проводники в электростатическом поле. Электроемкость проводника
- •2.3. Взаимная ёмкость. Конденсаторы
- •2.4. Потенциальная энергия системы точечных зарядов. Энергия заряженного проводника и электрического поля
- •Примеры решения задач
- •Решение
- •Теперь по второму закону Ньютона .
- •Решение
- •Решение
- •Решение
- •Решение
- •Задачи для аудиторных занятий
- •Домашнее задание
- •Варианты домашнего задания
- •Библиографический список
Решение
Применим метод Гаусса. Как и в предыдущей задаче, теорему Гаусса надо применять для вектора электрического смещения , так как в этом случае достаточно учесть только дополнительные (свободные) заряды, сообщенные диэлектрику извне и не надо рассматривать связанные поляризационные заряды диэлектрика. Ввиду сферически симметричного распределения свободного заряда есть основание утверждать, что линии векторав любой точке направлены вдоль радиусов, проведенных из точки О, и модульD имеет одинаковое значение на равных расстояниях от центра шара О. Следовательно, в качестве гауссовых поверхностей следует выбирать сферы радиуса r с центром в точке О (рис.1.10).
Рассмотрим две области пространства:
1
Рис.1.10
Свободный заряд, попавший внутрь этой сферы, равен .
По теореме Гаусса , отсюда.
Так как и в этом примере диэлектрик заполняет пространство между двумя эквипотенциальными поверхностями, то связь между иимеет вид
.
Тогда модуль напряженности электрического поля равен .
2. . Поток вектора электрического смещения через сферу радиусаr , как и в предыдущем случае, равен .
Свободный заряд, попавший внутрь этой сферы с r R – это весь заряд шара:
.
По теореме Гаусса , отсюда
, а напряженность поля в этой области , так как = 1.
Получим .
Теперь можно построить график зависимости E(r) (рис.1.11).
Отметим, что на границе перехода поля из эбонита в воздух происходит скачок напряженности в раз.
Вычислим значения напряженности в нужных точках:
1) r1 = 3 см. .
2
Рис.1.11
а) внутри шара ;
б) вне шара .
3) r3 = 10 см. .
Ответ: Е1 = 3,37 В/м; Е(R)1 = 6,28 В/м, Е(R)2 = 18,8 В/м; Е3 = 4,7 В/м .
Пример 6. Сплошной парафиновый шар ( = 2) радиусом R =10 см равномерно заряжен с объемной плотностью = 1 мкКл/м3. Определить потенциал электрического поля в центре шара и на его поверхности. Построить график зависимости (r).
Решение
Воспользуемся связью между напряженностью и потенциалом электростатического поля .
Для поля со сферической симметрией, каким является поле шара, это соотношение можно записать в виде , гдеEr – проекция вектора напряженности на радиус – вектор , проведенный из центра шара. В нашем случаеEr = E, то есть модулю вектора напряженности.
Тогда разность потенциалов двух точек поля может быть найдена интегрированием
.
Для нахождения численного значения потенциала необходимо задать нулевой уровень потенциала. В данном случае нулевой уровень удобнее всего задать в бесконечности.
Тогда , гдеR – потенциал на поверхности шара.
Учтем, что , а выражение для напряженности поля в пространстве, окружающем шар, возьмем из предыдущей задачи.
Тогда .
Разность потенциалов между центром шара и его поверхностью найдем таким же способом , где0 – потенциал в центре шара.
Тогда, а напряженность поля внутри шара опять возьмем из предыдущей задачи:. Найдем0:
.
Нарисуем график зависимости (r) (рис.1.12).
Рис.1.12
Найдем численные значения потенциалов на поверхности шара R и в его центре 0.
Ответ: R = 377 В, 0 = 472 В.