Решение

Рис.1.5

Так как электрическое поле создано несколькими зарядами, то для нахождения его напряженности надо применить принцип суперпозиции. Напряженность результирующего поля равна векторной сумме напряженностей полей, созданных каждым зарядом в отдельности:

.

Направления векторов показаны на рис.1.5. Модули составляющих векторов можно найти по формуле напряженности поля точечного заряда:

Чтобы сложить вектора, выберем координатные оси х и у , как показано на рисунке, и найдем проекции результирующего вектора E_x и E_y как суммы проекций всех составляющих векторов на эти оси координат:

Здесь Е_1х = - Е₁, Е_2х = Е₂, Е_3х = 0, Е_4х = 0,

Е_1у = 0, Е_2у = 0, Е_3у = - Е₃, Е_4у = Е₄ .

Тогда

Вычислим проекции вектора :

Модуль результирующего вектора Е найдем через его проекции на оси координат:

Найдем теперь угол, который вектор образует с короткой диагональю ромба. Из рисунка видно, чтозначит = 45^о.

Ответ: Е = 5,0910⁵ В/м,  = 45^о.

Пример 2. Тонкий стержень длиной l = 10 см заряжен с линейной плотностью  = 400 нКл/м. Найти напряженность электрического поля в точке, расположенной на перпендикуляре к стержню, проведенном через один из его концов, на расстоянии r₀ = 8 см от его конца.

Р Рис.1.6ешение

Применим принцип суперпозиции для поля непрерывно распределенных зарядов:

.

Выделим на стержне бесконечно малый участок длиной dl (рис.1.6) Находящийся на нем заряд можно считать точечным, и напряженность поля, созданного им, рассчитывать как

.

Из приведенного рисунка видно, что

Следует иметь в виду, что вектор, поэтому прежде чем интегрировать, выберем оси координат х иy и найдем проекции вектора на эти оси:

,

или, учитывая сделанные подстановки,

Интегрируя эти выражения в пределах от 0 до  (рис. 1.6. ), получим:

где Е_х и Е_у – проекции результирующего вектора на оси х и у.

Подставим числовые значения заданных величин в системе СИ и произведем вычисления:

Вектор напряженности определится через проекции Е_х и Е_у :

где – орты координатных осей х и у.

Модуль вектора напряженности найдем через его проекции на оси координат:

.

Вычислим:

Ответ: Е = 39,310³ В/м.

Пример 3. Тонкие стержни образуют квадрат со стороной l. Стержни заряжены с линейной плотностью  = 1,33 нКл/м. Найти потенциал  в центре квадрата.