Решение

Так как конденсаторы соединены последовательно, то заряды всех обкладок по модулю одинаковы. Поскольку заряд связан с емкостью конденсатора и напряжением на нем соотношением q = CU, то можно записать:

C₁U₁ = C₂U₂ .

C другой стороны, при последовательном соединении конденсаторов

U = U₁ + U₂ .

Решая эти уравнения совместно, найдем напряжение на первом и втором конденсаторе:

Подставляя эти значения в формулу для энергии конденсатора, получим

Наконец, подставляя в полученные формулы числовые значения величин, получим

Ответ: W₁ = 2·10^-6 Дж, W₂ = 1·10^-6 Дж.

Пример 6. Электрический заряд распределен в вакууме по объему шара радиусом R = 10 см. Объемная плотность заряда внутри шара изменяется по закону ρ = ρ₀·r, где ρ₀ = 1 мКл/м³. Найти энергию электрического поля, заключенную в шаре.

Решение

Чтобы найти энергию электрического поля в некотором объеме, надо знать объемную плотность энергии, а для этого, в свою очередь, надо знать напряженность электрического поля. Так как по условию заряд распределен в пространстве сферически симметрично, то для нахождения напряженности поля надо применить теорему Гаусса. Выберем гауссову поверхность в виде сферы радиуса r < R (рис.2.4). Силовые линии электрического поля в любой точке сферы будут перпендикулярны к ней, а модуль напряженности во всех точках сферы будет одинаков. Тогда поток вектора напряженности через поверхность сферы равен

.

З

Рис.2.4

аряд, попавший внутрь этой сферы, надо искать интегрированием:, при этом, так как ρ зависит только отr, элемент объема dV – это объем сферического слоя радиусом r и толщиной dr, то есть dV = 4 π r²dr. Тогда заряд q равен .

Используем теорему Гаусса, приравнивая поток вектора напряженности через поверхность S суммарному заряду внутри этой поверхности, деленному на электрическую постоянную ε₀:

.

Выразим отсюда напряженность электрического поля Е: .

Теперь найдем объемную плотность энергии электрического поля внутри шара:

И, наконец, найдем энергию электрического поля, заключенную в шаре:

Вычислим значение энергии:

Ответ: W = 6,34·10^-4 Дж.

Задачи для аудиторных занятий

1. На расстоянии r₁ = 4 см от бесконечной длинной заряженной нити находится точечный заряд q = - 0,66 нКл. Под действием поля заряд приближается к нити до расстояния r₂ = 2 см; при этом совершается работа А = 5 мкДж. Найти линейную плотность заряда на нити.

Ответ: τ = 0,6 мкКл/м.

2. Разность потенциалов между катодом и анодом электронной лампы U = 90 В, расстояние r = 1мм. С каким ускорением а движется электрон от катода к аноду? Какова скорость v электрона в момент удара об анод? За какое время t электрон пролетает расстояние от катода до анода? Поле считать однородным.

Ответ: а = 1,58·10¹⁶ м/с²; v = 5,63 Мм/с; t = 0,356 нс.

3. Электрон движется в плоском горизонтально расположенном конденсаторе параллельно его пластинам со скоростью v₀ = 3,6·10⁷ м/с. Напряженность поля внутри конденсатора Е = 3,7 кВ/м; длина пластин конденсатора = 20 см. На какое расстояние сместится электрон в вертикальном направлении под действием электрического поля за время его движения в конденсаторе?

Ответ: Δy = 1 см.

4. На отрезке прямого провода равномерно распределен заряд с линейной плотностью τ = 1 мкКл/м. Определить работу А сил поля по перемещению заряда q = 1 нКл из точки В в точку С (рис.2.5).

О

Рис.2.5

твет:А = 2,62 мкДж.

5. Найти ёмкость земного шара. Радиус земного шара принять равным 6400· 10³ м. Каким станет потенциал земного шара, если ему сообщить заряд q = 1 Кл?

Ответ: С = 711 мкФ, φ = 1400 В.

6. Заряженные шары, первый радиусом R₁ = 0,05 м и второй радиусом R₂ = 0,15 м, соединили металлической проволокой. При этом с первого шара на второй перешел заряд ∆q = 5 нКл. После их разъединения потенциал первого шара оказался равным φ = 2000 В. Найти потенциалы шаров до их соединения.

Ответ: φ₁ = 2900 В, φ₂ = 1700 В.

7. Площадь пластин плоского воздушного конденсатора S = 8ּ10^-3 м² и расстояние между ними d = 5 мм. Напряженность поля между обкладками конденсатора Е = 6·10⁴ В/м. После отключения конденсатора от источника напряжения пластины раздвигают. При этом разность потенциалов между пластинами увеличивается в два раза. Найти емкость конденсатора, разность потенциалов между пластинами и поверхностную плотность зарядов на пластинах до и после их раздвижения.

Ответ: С₁ = 14,2 пФ, С₂ = 7,1 пФ, U₁ = 300 В, U₂ = 600 В, σ₁ = σ₂ = 0,53 мкКл/м².

8. Два конденсатора емкостью С₁ = 3·10^-6 Ф и С₂ = 6·10^-6 Ф соединены между собой и присоединены к батарее с ЭДС ε = 120 В. Определить заряд каждого конденсатора и разность потенциалов между его обкладками, если конденсаторы соединены: 1) параллельно, 2) последовательно.

Ответ: 1) U₁ = U₂ = 120 В, q₁ = 0,36 мКл, q₂ = 0,72 мКл;

2) U₁ = 80 В, U₂ = 40 В, q₁ = q₂ = 0,24 мКл.

9. Плоский воздушный конденсатор с расстоянием между пластинами d₁ = 4·10^-4 м заряжен до разности потенциалов U = 2000 В. Не отключая конденсатор от источника напряжения, раздвигают его пластины до расстояния d₂ = 6·10^-3 м. Найти изменение объемной плотности энергии конденсатора.

Ответ: Δw = - 0,61 Дж/м³.

10. Металлический шар, погруженный в керосин (ε = 2), имеет потенциал φ = 4,5 кВ и поверхностную плотность заряда σ = 11 мкКл/м². Найти энергию шара.

Ответ: W = 65 мкДж.

11. Сила притяжения между пластинами плоского воздушного конденсатора F = 50 мН. Площадь каждой пластины S = 200 см². Найти объемную плотность энергии w поля конденсатора.

Ответ: w = 5 Дж/м³.

12. Пространство между пластинами плоского конденсатора заполнено парафином (ε = 2). Площадь пластин S = 40·10^-4 м², расстояние между пластинами d = 2·10^-3 м. Напряженность поля в конденсаторе E = 32·10³ В/м. Не отключая конденсатор от источника напряжения, из него вынимают диэлектрик. На сколько изменится энергия конденсатора?

Ответ:ΔW = - 36 нДж.