
- •Практикум Омск 2006
- •Тема 1. Основные законы электростатики. Расчет напряженности и потенциала электростатического поля. Краткие теоретические сведения для решения задач
- •Электрический заряд. Закон сохранения заряда. Закон Кулона. Напряженность поля.
- •Принцип суперпозиции электрических полей
- •1.3. Поток напряжённости. Теорема Гаусса для электростатического поля в вакууме
- •1.4. Потенциал электростатического поля
- •1.6. Электрическое поле в диэлектрических средах. Дипольные моменты молекул диэлектрика. Поляризация диэлектрика
- •1.7. Теорема Гаусса для электростатического поля в среде
- •1.8. Условия для электростатического поля на границе раздела изотропных диэлектрических сред
- •Примеры решения задач
- •Решение
- •Р Рис.1.6ешение
- •Решение
- •Решение
- •Решение
- •Решение
- •Задачи для аудиторных занятий
- •Домашнее задание
- •2.1. Работа сил электростатического поля по перемещению заряда
- •2.2. Проводники в электростатическом поле. Электроемкость проводника
- •2.3. Взаимная ёмкость. Конденсаторы
- •2.4. Потенциальная энергия системы точечных зарядов. Энергия заряженного проводника и электрического поля
- •Примеры решения задач
- •Решение
- •Теперь по второму закону Ньютона .
- •Решение
- •Решение
- •Решение
- •Решение
- •Задачи для аудиторных занятий
- •Домашнее задание
- •Варианты домашнего задания
- •Библиографический список
Решение
Применим
метод Гаусса. Как и в предыдущей задаче,
теорему Гаусса надо применять для
вектора электрического смещения
,
так как в этом случае достаточно учесть
только дополнительные (свободные)
заряды, сообщенные диэлектрику извне
и не надо рассматривать связанные
поляризационные заряды диэлектрика.
Ввиду сферически симметричного
распределения свободного заряда есть
основание утверждать, что линии вектора
в любой точке направлены вдоль радиусов,
проведенных из точки О, и модульD
имеет одинаковое значение на равных
расстояниях от центра шара О. Следовательно,
в качестве гауссовых поверхностей
следует выбирать сферы радиуса r
с центром в точке О (рис.1.10).
Рассмотрим две
области пространства:
1
Рис.1.10.
Поток вектора электрического смещения
через гауссову сферу равен
Свободный
заряд, попавший внутрь этой сферы, равен
.
По
теореме Гаусса
,
отсюда
.
Так
как и в этом примере диэлектрик заполняет
пространство между двумя эквипотенциальными
поверхностями, то связь между
и
имеет вид
.
Тогда
модуль напряженности электрического
поля равен
.
2.
.
Поток вектора электрического смещения
через сферу радиусаr
, как и в предыдущем случае, равен
.
Свободный заряд, попавший внутрь этой сферы с r R – это весь заряд шара:
.
По
теореме Гаусса
, отсюда
,
а напряженность поля в этой области
, так как
= 1.
Получим
.
Теперь можно построить график зависимости E(r) (рис.1.11).
Отметим, что на границе перехода поля из эбонита в воздух происходит скачок напряженности в раз.
Вычислим значения напряженности в нужных точках:
1)
r1
= 3 см.
.
2
Рис.1.11
а)
внутри шара
;
б)
вне шара
.
3)
r3
= 10 см.
.
Ответ: Е1 = 3,37 В/м; Е(R)1 = 6,28 В/м, Е(R)2 = 18,8 В/м; Е3 = 4,7 В/м .
Пример 6. Сплошной парафиновый шар ( = 2) радиусом R =10 см равномерно заряжен с объемной плотностью = 1 мкКл/м3. Определить потенциал электрического поля в центре шара и на его поверхности. Построить график зависимости (r).
Решение
Воспользуемся
связью между напряженностью и потенциалом
электростатического поля
.
Для
поля со сферической симметрией, каким
является поле шара, это соотношение
можно записать в виде
,
гдеEr
– проекция вектора напряженности на
радиус – вектор
,
проведенный из центра шара. В нашем
случаеEr
= E,
то есть модулю вектора напряженности.
Тогда разность потенциалов двух точек поля может быть найдена интегрированием
.
Для нахождения численного значения потенциала необходимо задать нулевой уровень потенциала. В данном случае нулевой уровень удобнее всего задать в бесконечности.
Тогда
,
гдеR
– потенциал на поверхности шара.
Учтем,
что
,
а выражение для напряженности поля в
пространстве, окружающем шар, возьмем
из предыдущей задачи
.
Тогда
.
Разность
потенциалов между центром шара и его
поверхностью найдем таким же способом
, где0
– потенциал в центре шара.
Тогда
, а напряженность поля внутри шара опять
возьмем из предыдущей задачи:
. Найдем0:
.
Нарисуем график зависимости (r) (рис.1.12).
Рис.1.12
Найдем численные значения потенциалов на поверхности шара R и в его центре 0.
Ответ: R = 377 В, 0 = 472 В.