2.3. Функция общей и предельной полезности
Набор,
в котором имеется только одно благо,
представляется следующим образом: (
),
где
- количество блага в наборе. Набор,
состоящий из двух благ – (
),
где
и
соответственно количество одного и
другого блага в наборе. В общем случае
в наборе содержится
товаров -
.
Зависимость между количеством блага
или нескольких благ в наборе (независимой
или независимыми переменными) и величиной
их общей полезности (
- total
utility)
представляют функцией общей полезности,
которая в зависимости от числа благ в
наборе имеет вид:
.
В функции полезности
каждому возможному потребительскому
набору соответствует некое численное
значение, при котором более предпочитаемым
наборам приписываются большие численные
значения, чем менее предпочитаемым.
Иными словами, набор
предпочитается набору
в том и только в том случае, если полезность
набора
больше полезности набора
:
на языке условных обозначений
,
если и только если
.
Единственный смысл приписывания
полезности состоит в том, что с его
помощью ранжируются товарные наборы.
Функция общей полезности непрерывна и дифференцируема. Это означает, что любое бесконечно малое изменение количества блага в наборе вызывает изменение общей полезности набора.
Допустим,
что объемы потребления товаров
постоянны. Как изменится общая полезность
товарного набора при изменении объема
потребления товара
?
Графически эта зависимость отражена
на рис. 14 а.
Длина
отрезка
равна полезности товарного набора при
фиксированных объемах товаров
в
наборе и при нулевом объеме потребления
товара
.
Функция общей полезности такого набора
вначале возрастает (чем больше единиц
блага в наборе, тем большую полезность
он имеет), достигает своего максимума
в точке
,
после которой становится убывающей.
Последнее означает, что после насыщения
благом, каждая его дополнительная
единица будет приносить потребителю
меньшую общую полезность, чем предыдущая.
Кривая общей полезности имеет выпуклую
вверх форму: каждая последующая единица
одного и того же блага увеличивает общую
полезность на меньшую величину, чем
предыдущая.
В
процессе непрерывного потребления
полезность каждой дополнительной
единицы блага, его предельная полезность,
убывает. Предельная полезность (
- marginal
utility)
- это прирост общей полезности товарного
набора при увеличении объема потребления
данного товара на одну единицу. На рис.
14 а
представлена зависимость предельной
полезности блага от объема его потребления.
Представим
математическую интерпретацию предельной
полезности. Общая полезность набора,
состоящего из одного товара,
.
Если в наборе количество товара
изменилось на величину
,
то общая полезность набора изменилась
на
:
.
Отношение
приращения полезности к вызвавшему его
приращению блага измеряет предельную
полезность на дуге
.
Для бесконечно малого приращения
аргумента (количества блага в наборе)
определяют предельную полезность блага
в точке, т.е. предельную полезность
конкретной единицы блага. Для этого
находим:
.
Математически
предельная полезность товара
измеряется первой простой производной
функции общей полезности товарного
набора по объему потребления товара
.
Функция предельной полезности имеет
вид:
.
График кривой предельной полезности
представлен на рис. 14. Наклон кривой
предельной полезности измеряется второй
простой производной функции полезности:
.
Если
в наборе
товаров
,
то общая полезность
.
Тогда предельная полезность товара
измеряется следующим пределом:
,
т.е. частной производной функции общей
полезности. Вторая частная производная
- измеряет наклон поверхности безразличия,
описываемой аналитически функцией
предельной полезности
.
Если
,
то
.
Если в наборе товаров, то такой набор отмечается точкой в - мерном пространстве, имеющей координат (по числу товаров в наборе). Здесь наборы представлены точками на поверхности безразличия, касательной к которой является плоскость.
Значение
предельной полезности равно длине
отрезка
(на нижнем рис. 14) или тангенсу угла,
который образует касательная к кривой
в точке
с положительно направленной осью
абсцисс. Поскольку кривая
выпукла вверх, то с увеличением объема
потребления
-го
товара наклон касательной уменьшается
и, следовательно, предельная полезность
товара понижается. Если при объеме
потребления товара
общая полезность достигает максимума,
то предельная полезность товара
становится равной нулю.
Принцип убывающей предельной полезности называют первым законом Госсена, по имени немецкого экономиста Г. Госсена (1810-1859), впервые сформулировавшего его в 1854 г. Принцип убывающей предельной полезности заключается в том, что с ростом потребления какого-то одного блага (при неизменном объеме потребления всех остальных) общая полезность, получаемая потребителем, возрастает, но возрастает убывающим темпом. Математически это означает, что первая производная функции общей полезности по количеству данного блага положительна, а вторая – отрицательна:
,
.
Однако
принцип убывающей предельной полезности
отнюдь не универсален. Во многих случаях
предельная полезность последующих
единиц благ сначала увеличивается,
достигает максимума и после начинает
снижаться. Такая зависимость характерна
для небольших порций делимых благ. Она
показана на рис. 14б.
В интервале от нуля до
общая полезность растает быстрее объема
потребления блага, растет и предельная
полезность. В интервале от
до
общая полезность растет медленнее
объема потребления, а предельная
полезность снижается от максимального
значения (в точке
)
до нуля. Математически это означает,
что на участке от нуля до
и первая, и вторая частные производные
функции общей полезности по объему
данного блага положительны:
,
.
Таким образом, принцип убывающей полезности, или первый закон Госсена, справедлив лишь в том случае, если вторая частная производная функции общей полезности отрицательна. Однако поскольку потребитель покупает на рынке определенные блага, можем считать, что для обращающихся на рынке товаров первый закон Госсена выполняется.
Предельные величины - один из основных параметров современной микроэкономики. Анализ конкуренции, рыночных эффектов и парадоксов опирается на изучение потребностей и предпочтений человека, а также законов их насыщения и реализации.