3.9. Производство с двумя переменными факторами.
Теорию фирмы можно изложить либо с помощью предельных категорий (классический подход), либо с помощью линейного программирования. Эти подходы являются взаимодополняющими.
Используя
предельные категории, рассмотрим
деятельность фирмы в коротком периоде,
когда ее организационная структура
остается стабильной. Производится один
продукт с помощью двух факторов,
производственная функция
.
В условиях чистой конкуренции фирма
покупает факторы производства по ценам
и
,
и
продает продукт по цене
.
Задача состоит в том, чтобы найти такую
комбинацию
и
,
при которой получают максимум прибыли:
Необходимое
условие максимума прибыли - равенство
первых частных производных нулю:
.
Отсюда находим:
;
.
(3.5)
В
полученных условиях
представляет предельный продукт труда,
а
- предельный продукт капитала в денежной
форме. Из условий максимизации прибыли
следует, что фирма увеличивает объем
производства до тех пор, пока предельный
продукт каждого фактора в денежной
форме станет равным цене соответствующего
фактора, т.е. предельным издержкам на
ресурс. Последние равны цене соответствующего
ресурса.
Из
уравнений (3.5) определяем расходуемые
количества
и
как
функции цен
и
.
Запишем необходимое условие максимума
прибыли в виде:
или
.
Оно
означает, что для достижения максимума
прибыли необходимо, чтобы предельная
норма технологического замещения
факторов
была равна заданному соотношению их
цен.
Достаточное
условие максимизации прибыли заключается
в том, что для любого отклонения, при
котором
(так как
)
дифференциал второго порядка
.
.
(3.6)
Запишем условия максимизации прибыли, если продукт реализуется на рынке несовершенной конкуренции. Заданы функции предложения ресурсов и спроса на продукцию фирмы.
Функция
спроса имеет однородную форму
,
где
,
-
цена продукта,
-
ценовая эластичность спроса. Если
,
то цена продукта становится постоянной
величиной и имеем условия совершенной
конкуренции. Обратная функция спроса
имеет вид
,
где
.
Валовой доход фирмы равен
.
Если
,
то валовой доход является постоянным,
не зависящим от изменений
и
.
Это значит, что объем производства
является заранее заданной величиной
,
а, следовательно, и цена
в выражении (
)
также постоянна.
Функции
предложения труда
,
капитала
также
однородны,
и
,
и
- эластичности предложения факторов
производства,
и
,
соответственно, ставка заработной платы
и процент на единицу капитала.
Определим
и
,
соответствующие предложению труда и
капитала при названных условиях. Тогда
,
где
.
Затраты труда и капитала равны
соответственно:
.
Запишем функцию Лагранжа для экономической прибыли:
,
где - множитель Лагранжа.
Необходимые условия максимизации прибыли:
Последнее уравнение добавляется, если является переменной величиной. Из системы уравнений находим:
Если
,
то
Если
,
то
Определим факторные цены в условиях несовершенной конкуренции:
Полученные выражения отражают характер зависимости заработной платы и ставки процента от рыночных параметров – цены товара, ценовой эластичности спроса на товар, ценовой эластичности предложения труда и капитала, а также предельной производительности труда и капитала. Решая систему уравнений, представляющую необходимое условие максимизации прибыли, находим значения , , и .
Достаточное
условие максимизации прибыли
<0.
Если оно выполняется при найденных
значениях
,
,
и
,
то фирма получает максимальную прибыль.