3.10. Концепция выявленной максимизации прибыли, ее практическое значение

Поскольку фирма максимизирует прибыль, ее величина должна быть не ниже того уровня, который сложился бы, если бы она по тем же ценам приобрела другое количество ресурсов и произвела другое количество продукции. Это правило известно как слабая аксиома максимизации прибыли. При ее выполнении должны выполняться следующие неравенства:

, (3.7)

, (3.8)

где , и – оптимальные количества выпуска, капитала и труда при ценах , и ; , и - оптимальные количества выпуска, капитала и труда при ценах , и . Поменяем местами стороны неравенства (3.8):

.

Прибавим полученное выражение к неравенству (3.7), получим:

.

Вынесем за скобки подобные члены:

.

Вновь вынесем за скобки подобные члены и перенесем все слагаемые в левую часть:

. (3.9)

Выражения в скобках неравенства (3.9) характеризуют: изменения цен на готовую продукцию , объемов выпуска , цен на капитальные ресурсы , количества капитала , цен на труд , и количества труда . Неравенство (3.9) трансформируется в неравенство (3.10):

. (3.10)

Слабая аксиома максимизации прибыли предполагает соблюдение неравенства (3.10). Если при прежней технологии производства фирма в ответ на изменения цен выпускаемой продукции или ресурсов изменяет выпуск и количества потребляемых ресурсов, то, подставляя значения соответствующих изменений в неравенство (3.10), можно дать первичную оценку деятельности фирмы. Если неравенство не соблюдается, значит, либо до изменения цен, либо после изменения, либо и до, и после изменения цен фирма не максимизировала прибыль.

Измерение темпов экономического роста

Производственные функции используются не только в статическом, но и в динамическом варианте, когда переменные рассматриваются как функции времени. В зависимости от целей исследования используются различные спецификации производственных функций. Так, Ян Тинберген ввел в функцию Кобба-Дугласа технический прогресс, влияющий на конечный выпуск и на производительность факторов производства. Тогда производственная функция принимает вид:

,

где – значение эффективности технологии в начальный период времени;

- множитель технического прогресса, который отражает отдачу от образования, научных исследований, повышения профессионального мастерства работников и т.п. Другие спецификации функции Кобба-Дугласа, в частности, функция, предложенная Р. Солоу, не приводятся.

Рассмотрим один из вариантов функции Кобба-Дугласа, когда выпуск, переменные затраты факторов и параметр эффективности технологии изменяются во времени. Тогда функция имеет вид:

.

Определим темпы прироста и как отношения приращения этих показателей во времени к их абсолютному уровню и обозначим соответственно через Тогда

Продифференцируем функцию по времени:

Определим частные производные выпуска для функции Кобба-Дугласа, подставим их в и получим:

Последнее выражение разделим на . В итоге имеем , или

Полученное уравнение показывает зависимость между темпами прироста выпуска и темпами приростов эффективности технологии, труда и капитала. Измерение темпов экономического роста представляет интерес не только для анализа произошедших изменений в экономике, но и в планировании и прогнозировании экономического развития.

Определим темпы прироста выпуска в случае функции Прологарифмируем выражение функции, получим: . Используя правило логарифмического дифференцирования , приходим к выводу: . Параметр характеризует темп технического прогресса, на величину которого обеспечивается прирост выпуска.

Применение производственных функций в анализе процесса производства и принятии управленческих решений.

Производственная функция как модель процесса производства используется в исследовании динамики его показателей, связей и зависимостей между ними; параметров и типов технического прогресса, а результаты анализа используются в принятии управленческих решений. Приведем примеры обоснованных производственных функций для промышленности и сельского хозяйства России, для сельского хозяйства Ростовской и других областей Южного федерального округа, для организаций молочного скотоводства.

Используя данные о затратах в промышленности России на труд, капитал и инновации в 2000-2009 гг., Полтавским Д.Э. обоснована производственная функция , где - затраты на инновации, с коэффициентом детерминации . На ее основе определены

предельные продукты труда, капитала, инноваций и их динамика;

измерено влияние инноваций на экономический рост;

измерена предельная норма замещения капитала инновациями, труда инновациями, и определена пропорция, в которой инновации замещают используемый капитал, труд;

определена частная эластичность выпуска по инновациям;

измерена эластичность замещения капитала, труда инновациями и выявлена степень однородности капитала и инноваций;

измерено влияние названных параметров на динамику конечного продукта и экономического роста.

Производственная функция для сельского хозяйства России в 1998-2008 гг., обоснованная Рудой Ю.Н., с коэффициентом детерминации , имеет вид:

Производственные функции в сельском хозяйстве в субъектах Южного федерального округа в период 2004-2006 гг. представлены в следующей таблице.

Производственная функция	– коэффициент детерминации	– квадрат регресссионных остатков	– критерий Дарбина-Уотсона
Южный федеральный округ
	0,88	0,59	2,68
	0,92	0,65	3,04
	0,96	0,62	3,14
Ростовская область
	0,84	0,71	1,46
	0,74	0,89	1,35
	0,88	0,64	1,48
Краснодарский край
	0,99	2,97	3,34
	0,98	3,03	3,57
	0,97	2,22	3,18
Ставропольский край
	0,90	0,87	2,74
	0,89	0,87	2,70
	0,96	0,65	3,04
Волгоградская область
	0,84	0,34	2,77
	0,82	0,34	2,67
	0,90	0,34	2,92

В нижеследующей таблице представлены производственные функции, обоснованные для 50 организаций молочного скотоводства Ростовской области, объединенных в три группы с учетом классификационных признаков.

Кластеры	Производственные функции	Сумма коэффициентов эластичности	-квадрат
2004 год
2 кластер		0,89	0,68
3 кластер		1,18	0,82
2005 год
2 кластер		1,43	0,91
3 кластер		1,31	0,93
2006 год
2 кластер		0,84	0,86
3 кластер		1,47	0,84

Производственная функция для предприятия, входящего в первый кластер, имеет вид: где - поголовье скота, - расход кормов. Коэффициент детерминации ₌0,88, что свидетельствует о достоверности предлагаемой модели. Значение показателя эффективности технологии свидетельствует о высоком техническом уровне производства после технологической модернизации, отрицательная частная эластичность выпуска по труду и по расходу кормов – об излишнем, по сравнению с эффективным, объемом расходуемых труда и кормов.

Оценка показателей технического прогресса и его типа проводилась на основе данных следующей таблицы.

Годы	Капиталоемкость	Предельные продукты факторов производства				Предельная норма технологического замещения	Эластичность замещения труда капиталом,
		труда,	капитала,	поголовья,	кормов,
2003	255,98	-3503,02	2,89	161,86	-2,06	-1211,73	1,00
2004	374,01	-3938,22	2,22	185,80	-1,23	-1770,46	1,00
2005	357,92	-3703,59	2,19	176,61	-0,83	-1694,26	1,00
2006	333,51	-2791,03	1,77	153,60	-0,74	-1578,72	1,00
2007	497,65	-1991,34	0,85	135,68	-0,55	-2355,72	1,00
2008	519,13	-2252,05	0,92	140,78	-0,48	-2457,40	1,00

С использованием производственной функции как имитационной модели производства проводились исследования, нашедшие отражение в опубликованных работах:

1. Германова О.Е., Рудая Ю.Н. Динамика показателей технического прогресса и его типы. Экономический вестник Ростовского государственного университета. TERRA ECONOMICUS. 2009. Том 7, № 4.

2. Германова О.Е., Рудая Ю.Н. Отражение показателей технического прогресса в производственных функциях. Материалы Международной научно-практической конференции: Посткризисный мир: глобализация, многополярность, институты. (Ростов-на-Дону, 20-22 мая 2010 г.) в 3 т. Т. 1 / Под ред. А. Ю. Архипова, Ю. М. Осипова, В.А. Алешина, В. Н. Овчинникова. - М.: Вузовская книга. 2010 г.

3. Германова О.Е., Рудая Ю.Н. Технический прогресс: экономическое содержание, измерение и типы. М.: Вузовская книга. 2011. 240 с.

Задания для практических занятий

1. Определить отдачу от масштаба для следующих производственных функций: .

2. Выпуск продукта задается формулой , где - количество единственного используемого ресурса. Определить предельный продукт ресурса для .

3. Дана производственная функция . Найти предельный продукт труда (предельную производительность труда ), предельный продукт капитала (предельную производительность капитала ) при . Определите предельную норму замещения капитала трудом ( ) при расходе ресурсов .

4. Какого типа производственная функция характеризует производственный процесс, в котором эластичность замещения факторов производства неизменна?

1. Определить эластичность замены одного фактора производства другим для производственных функций: .

2. Технология производства продукта в 2000 году воплощалась в производственной функции , в 2001 году – в функции . Как следует охарактеризовать технический прогресс в таком случае?

3. Траектория увеличения выпуска стала более крутой. Причиной этого может быть

• технический прогресс, расходующий капитал и экономящий труд;

• повышение цены капитала, так как потребление капитала увеличивается;

• повышение цены труда, так как труд замещается капиталом.

4. Если в результате технологических нововведений выпуск при неизменном количестве ресурсов возрастает, и снижаются, причем снижается быстрее, чем , то

- нововведения технически неэффективны;

• средний продукт труда снижается;

• средний продукт капитала снижается;

• имеет место капиталоинтенсивный технический прогресс. Какое утверждение верно?

5. Компания использует только эффективные способы производства. Недавно она внесла изменения в процесс производства, в результате которых увеличилась, хотя выпуск не изменился. Это означает, что капиталоемкость производства понизилась, возросла, не изменилась; могла снизиться, могла возрасти, но изменилась; капиталоемкость продукции понизилась. Найдите верный ответ.

10. Наборы ресурсов (11,6), (8,8) имеют стоимость 40 руб. каждый. Определить цены труда , капитала и наклон изокосты.

11. Дано: производственная функция фирмы , издержки составляют руб., цена труда руб., цена капитала руб. Найти равновесный набор ресурсов, при котором издержки фирмы на единицу продукции минимальны.

12. Производственная функция фирмы . Цена труда , цена капитала , цена продукта . Определить значения и , при которых прибыль фирмы максимальна.