Оптимальное положение потребителя в экономике
Используя кривые безразличия и бюджетную линию, определим набор, имеющий максимальную полезность для потребителя, его оптимальный выбор. Очевидно, что этот набор находится одновременно на бюджетной линии и самой высокой для потребителя кривой безразличия. Такой набор отмечен точкой - точкой касания названных линий. В этой точке бюджетная линия является касательной к кривой безразличия, и, следовательно, их наклоны равны. Точка отмечает положение равновесия (или оптимум) потребителя (рис. 16б).
Наклон
бюджетной линии измеряется соотношением
цен товаров
,
а наклон кривой безразличия – предельной
нормой замещения, равной соотношению
предельных полезностей товаров
.
Условие
оптимального выбора потребителя в
случае двух товаров имеет вид:
.
Экономический
смысл оптимума потребителя состоит в
том, что в точке, где субъективная норма
замещения товара
товаром
равна
«объективной», рыночной, норме замены
на
,
индивид платит за одну единицу товара
на рынке именно столько, сколько хочет
уплатить, и потому не имеет стимула к
дальнейшей замене
на
.
Возможны ситуации, когда потребитель выбирает угловое решение (рис. 17). При этом потребляется один из товаров.
2.7. Оптимальный выбор потребителя (общий случай)
Необходимое условие максимума функции полезности.
Потребитель
покупает набор, состоящий из
товаров,
функция общей полезности которого
,
а доход потребителя
.
Цены товаров
заданы
рынком. Определим необходимое условие
максимизации функции общей полезности
при условии, что весь доход не будет
израсходован на потребление. Бюджетное
ограничение потребителя:
.
Так как потребитель не расходует весь свой доход, то кроме приобретаемых товаров у него остается некоторая часть дохода. Тогда общая полезность набора товаров и денег представлена функцией Лагранжа:
.
Если
потребитель расходует весь доход, то
функция Лагранжа равна функции общей
полезности. Но нередко потребитель не
расходует весь доход, часть дохода
сберегает. Вводится параметр
,
который измеряет предельную полезность
одной денежной единицы. Полезность
денежной единицы оценивается потребителями
по-разному, как и полезность одного и
того же товара. Этот параметр необходим,
чтобы можно было сложить общую полезность
набора и полезность денег, так как общая
полезность набора
измеряется в единицах полезности, а
доход
-
в денежных единицах. Общая полезность
для потребителя теперь складывается
из полезности приобретаемого набора
товаров и полезности неизрасходованных
денег.
Функция
Лагранжа является функцией
переменных
.
Запишем
необходимое условие максимизации
функции Лагранжа – равенство нулю
первых частных производных:
;
;
…
;
.
Получаем следующую систему уравнений:
Возьмем первые уравнений и выразим из них , получим:
– необходимое
условие максимизации функции полезности.
Экономическая интерпретация условия состоит в следующем: потребитель приобретает набор, имеющий для него максимальную полезность при условии, что предельная полезность денежной единицы равна предельной полезности каждого товара, приобретаемого за одну денежную единицу.
Решая систему уравнений, находим значения переменных , при которых потребитель приобретает набор, имеющий для него максимальную полезность.
Достаточное условие максимума функции полезности.
-
полное приращение полезности
,
при
.
Это следует из необходимого условия.
Достаточное условие оптимального
положения потребителя в экономике имеет
вид:
,
,
где
вторые частные производные.
Выполнение достаточного условия означает, что найденный набор действительно является наилучшим для потребителя.