Признаки подобия треугольников

Для того чтобы два треугольника были подобны, необходимо и достаточно, чтобы

1. три стороны одного треугольника были соответственно пропорциональны трем сторонам другого треугольника (подобие по трем сторонам);

2. два угла одного треугольника были равны двум углам другого треугольника (подобие по двум углам);

3. две стороны одного треугольника были соответственно пропорциональны двум сторонам другого треугольника, а углы, заключенные между этими сторонами, были равны (подобие по двум сторонам и углу).

Отношение соответствующих сторон двух подобных треугольников называется коэффициентом подобия. Площади подобных треугольников относятся как квадрат коэффициента подобия.

Прямоугольный треугольник

Если в треугольнике угол - прямой, то стороны и называются катетами, - гипотенузой.

Теорема Пифагора. В прямоугольном треугольнике сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы .

Справедлива обратная теорема Пифагора: если стороны некоторого треугольника связаны соотношением , то треугольник является прямоугольным (прямой угол - , лежащий против стороны ).

Для прямоугольного треугольника справедливы следующие соотношения

, .

В прямоугольном треугольнике центр описанной окружности находиться на середине гипотенузы.

Площадь прямоугольного треугольника может быть вычислена по формуле .

Катет прямоугольного треугольника есть среднее пропорциональное между гипотенузой и проекцией этого катета на гипотенузу.

Высота прямоугольного треугольника, проведенная из вершины прямого угла, есть среднее пропорциональное между проекциями катетов на гипотенузу.

По-другому эти свойства можно записать с помощью соотношений:

, , .

По определению тригонометрических функций, справедливы равенства:

.

Равнобедренный треугольник

Равнобедренным называется треугольник, у которого две стороны равны. Эти стороны называются боковыми, третья – основанием. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны. Высота, биссектриса и медиана, проведенные к основанию в равнобедренном треугольнике совпадают.

Равносторонний треугольник

У равностороннего треугольника все стороны равны (обозначим их длину ) и все углы равны между собой и имеют градусную меру .

Для равностороннего треугольника справедливы следующие соотношения

, , .

Четырехугольник

Произвольный четырехугольник

Площадь выпуклого четырехугольника определяется по формуле , где и - диагонали четырехугольника, - угол между диагоналями.

Для того чтобы в выпуклый четырехугольник можно было вписать окружность, необходимо и достаточно, чтобы сумма длин противоположных сторон были равны друг другу.

Для того чтобы вокруг выпуклого четырехугольника можно было описать окружность, необходимо и достаточно, чтобы суммы противоположных углов были равны .

Параллелограмм

Параллелограмм – это четырехугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны. У параллелограмма равны противолежащие стороны и углы. Для того, чтобы выпуклый четырехугольник был параллелограммом, необходимо и достаточно, чтобы его диагонали в точке пересечения делились пополам.

Точка пересечения диагоналей параллелограмма является центром симметрии параллелограмма.

Около параллелограмма можно описать окружность в том и только в том случае, если он является прямоугольником.

В параллелограмм можно вписать окружность в том и только в том случае, если он является ромбом.

Пусть , - длины смежных сторон параллелограмма, - величина угла между этими сторонами, - высота, опущенная на сторону , и - дины диагоналей. Справедливы следующие соотношения.

,

,

,

,

.

Прямоугольник

Если один из углов параллелограмма – прямой, то и все остальные углы – прямые. Такой параллелограмм называется прямоугольником. Диагонали прямоугольника равны. Площадь прямоугольника определяется по формуле .

Ромб

Если в параллелограмме все стороны равны, но называется ромбом. Диагонали ромба взаимно перпендикулярны и делят углы ромба пополам. Площадь ромба равняется .

Квадрат

Квадратом называется параллелограмм с равными сторонами и прямыми углами. Квадрат является частным случаем прямоугольника (это прямоугольник с равными сторонами) и ромба (это ромб с прямыми углами). Поэтому квадрат обладает всеми свойствами прямоугольника и ромба. Площадь квадрата равняется .

Трапеция

Трапеция – это выпуклый четырехугольник, у которого две противоположные стороны (основания) параллельны, а две другие непараллельны.

Средней линией трапеции называется отрезок прямой, соединяющей середины непараллельных (боковых) сторон трапеции. Средняя линия трапеции параллельна ее основанию. Длина средней линии равна полусумме длин ее оснований .

Около трапеции можно описать окружность в том и только в том случае, если она равнобокая, т.е. если ее боковые стороны равны.

Высота равнобокой трапеции, в которую можно вписать окружность, является средним геометрическим ее оснований, т.е. .

Отрезок, параллельный основанию, и делящий трапецию на две равновеликие трапеции равен .

Отрезок, параллельный основанию, и делящий трапецию на две подобные трапеции равен .

Отрезок, параллельный основанию, и проходящий через точку пересечения диагоналей равен .

Площадь трапеции определяется по формуле ,

где , - длины оснований трапеции, - ее высота, - длина средней линии.

Площадь равнобедренной трапеции, диагонали которой перпендикулярны, равна квадрату ее высоты, т.е. .