Треугольник
Пусть
,
,
- длины сторон треугольника
,
лежащих, соответственно, против углов
,
,
;
- полупериметр треугольника,
- его площадь,
и
- радиусы описанной и вписанной в этот
треугольник окружностей,
,
,
- длины высоты, медианы и биссектрисы,
проведенных к стороне
.
Теоремы синусов и косинусов
Для произвольного треугольника справедлива теорема синусов и теорема косинусов.
Теорема косинусов. Квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов других сторон без удвоенного произведения этих сторно на косинус угла между ними, т.е.
,
,
.
Теорема синусов. Во всяком треугольнике отношение стороны к синусу противолежащего угла есть постоянная величина, равная диаметру описанной около треугольника окружности, т.е.
.
Площадь треугольника
Для вычисления площади произвольного треугольника используют следующие формулы:
,
,
,
,
- формула Герона,
.
Высота треугольника
Высотой треугольника называется отрезок перпендикуляра, опущенного из вершины треугольника на противоположную сторону или ее продолжение.
Три высоты треугольника пересекаются в одной точке, называемой ортоцентром.
Для произвольного треугольника зависимость между его высотами и радиусом вписанной окружности выражается формулой
.
Биссектриса
Биссектриса внутреннего угла треугольника – это отрезок прямой, делящий данный угол на две равные части. Во всяком треугольнике биссектрисы пересекаются в одной точке, являющейся центром окружности, вписанной в треугольник. Длина биссектрисы определяется по формуле
,
где
,
- отрезки, на которые биссектриса угла
делит противоположную сторону.
Биссектриса угла делит сторону треугольника, противолежащую этому углу, на отрезки, пропорциональные сторонам треугольника, прилежащим к этому углу.
Медиана треугольника
Медианой треугольника называется отрезок прямой, проведенной из вершины треугольника, лежащей внутри треугольника и делящий противоположную сторону на две равные части.
Три медианы треугольника пересекаются в одной точке, лежащей строго внутри треугольника. Точка пересечения делит медианы на отрезки, длины которых относятся как 2:1, считая от соответствующей вершины. Длина медианы определяется по формулам
.
В прямоугольном треугольнике медиана, проведенная к гипотенузе, равно ее половине. Верна и обратная теорема: если в треугольнике одна из медиан равна половине стороны, к которой она проведена, то этот треугольник прямоугольный.
Сторону треугольника можно найти по
формуле:
.
Средняя линия треугольника
Средней линией треугольника называется отрезок, соединяющий середины двух его сторон. Средняя линия треугольника параллельна его третьей стороне и равна ее половине.
Центр описанной окружности
Три перпендикуляра, восстановленные к серединам сторон треугольника, пересекаются в одной точке. Эта точка равноудалена от вершин треугольника и является центром окружности, описанной около данного треугольника.
Радиус описанной окружности равен
.
Признаки равенства треугольников
Два треугольника являются равными, если выполняется одно из условий.
Две стороны и угол, заключенный между ними, одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу, заключенному между ними, другого треугольника.
Два угла и прилежащая к ним сторона одного треугольника соответственно равны двум углам и прилежащей к ним стороне другого треугольника.
Три стороны одного треугольника соответственно равны трем сторонам другого треугольника.