6. Предел функции

Предел функции является в математическом анализе одним из основных понятий. Функция f(x) в точке х₀ предел имеет L. Если все значения х достаточно близки к х₀, то близко к L и значение f(x).

На бесконечности предел функции описывает поведение значения самой функции, когда аргумент ее становится бесконечно большим.

Предел функции обозначается в виде f(x) → L в случае, если х→а

К основным свойствам пределов функции относят:

предел постоянной величины, который равен самой постоянной величины;

предел суммы, который равен сумме пределов самих функций. Также по аналогии и предел разности функций равен разности пределов данных функций;

предел суммы множества функций равен также сумме пределов таких функций. По аналогии рассчитывает и предел нескольких функций, который равен разности пределов данных функций;

повышение предела произведения функции (постоянного коэффициента) на знак предела;

произведению пределов функций равен предел произведения двух функций;

расширенное свойство предела произведения, которое в том заключается, что предел произведения функций равен и произведению пределов данных функций;

предел частного функций равен отношению пределов данных функций, но только в том случае, если предел знаменателя нулю не равен;

предел функции степенной, где действительным числом является степень р;

предел функции показательной, при которой основание b больше 0;

предел функции логарифмической, в которой основание b больше 0;

теорема «двух милиционеров», при которой «зажатой» остается функция f(x)между другими двумя функции, которые также стремятся к пределу А.

Все перечисленные свойства пределов позволяют исходный предел функции свести к уже известному, чтобы получить ответ.

6. Свойства пределов функции, связанные с арифметическими действиями и неравенствами.

   Определение и свойства пределов

   Число b называется пределом функции f(x) при x → a, если для любого ε > 0 сущестувует δ > 0 такое, что для любого x из δ-окрестности a (|x - a| < δ) выполняется |f(x) - f(a)| < ε.

   Запись: ∀ ε > 0 ∃ δ > 0 : |x - a| < δ => |f(x) - f(a)| < ε

7. Предел сложной функции

8. Односторонние пределы

Односторо́нний преде́л в математическом анализе — предел числовой функции, подразумевающий «приближение» к предельной точке с одной стороны. Такие пределы называют соответственно левосторо́нним преде́лом (или преде́лом сле́ва) и правосторо́нним преде́лом (или преде́лом спра́ва).

Пусть задана числовая функция и — предельная точка области определения M.

• Число называется правосторонним пределом функции f при x стремящемся к a, если

• Число называется левосторонним пределом функции f при x стремящемся к a, если

Обозначения

• Правосторонний предел принято обозначать любым из нижеследующих способов:

• Аналогичным образом для левосторонних пределов приняты обозначения:

• При этом используются также сокращённые обозначения:

Теорема о существовании односторонних пределов у монотонных функций

Формулировка:

Если функция  определена и монотонна на отрезке , то в каждой точке  эта функция имеет конечные пределы слева и справа, а в точках  и  правосторонний и левосторонний пределы.

Доказательство:

Пусть, например, функция  монотонно возрастает на . Выберем произвольную внутреннюю точку . Тогда  ограничена сверху на . Согласно определению: а)  б)  обозначим  . Если , то . Итог: Итак , . Аналогично доказываем, что функция имеет в точке предел справа причем , . Следствие. Если функция определена и монотонна на интервале , предел справа и слева, причем если возрастает, то , если убывает, то .