4. Понятие окрестности точки. Точки прикосновения, предельные, граничные и внутренние точки множества.

Окрестность точки. 1. На числовой оси окрестность точки – любой интервал (открытый промежуток), содержащий данную точку. В частности открытый (не содержащий границ) промежуток (а – δ; а + δ) с центром в точке а называется δ-окрестностью точки а (положительное число δ – радиус δ-окрестности).    2. В n-мерном пространстве окрестность точки – любая область, содержащая данную точку. В частности совокупность точек М(х₁; х₂; …; х_n), координаты которых удовлетворяют неравенству , называется шаровой (сферической) δ-окрестностью точки А(а₁; а₂; …; а_n) – окрестностью радиуса δ. Иначе говоря, указанное множество точек М образует в n-мерном пространстве (открытый) шар радиуса δ с центром в точке А.    Множество точек М(х₁; х₂; …; х_n), координаты которых удовлетворяют системе неравенств называется параллелепипедальной окрестностью точки А(а1; а2; …; аn). Иначе: указанное множество точек М образует в n-мерном пространстве параллелепипед с центром в точке А. 3. Окрестность точки А в метрическом пространстве – любая область, содержащая точку А. В частности все точки М, расстояние от которых до точки А меньше некоторого положительного числа δ, образуют ее (т.е. точки А) сферическую окрестность радиуса δ с центром в точке А.

Точкой прикосновения некоторого множества называется такая точка (не обязательно чтобы она сама принадлежала данному множеству), любая окрестность которой содержит ещё хотя бы одну точку из этого множества.

ПРИМЕЧАНИЕ: получается, что если точка принадлежит данному множеству - то она уже является точкой прикосновения (так как сама она всегда входит в свою собственную окрестность, какой бы малой данная окрестность ни была)

Преде́льная то́чка (точка накопления) множества в общей топологии — это такая точка, любая проколотая окрестность которой пересекается с этим множеством.

Точка называется предельной точкой подмножества в топологическом пространстве , если всякая проколотая окрестность точки имеет с непустое пересечение.

Точка называется строго предельной точкой подмножества , если всякая окрестность точки имеет с бесконечное число общих точек. Для T₁-пространств (то есть пространств, у которых все точки (одноточечные множества) замкнуты) понятия предельная точка и строго предельная точка равносильны.

Точка называется точкой полного накопления подмножества , если для всякой окрестности точки мощность пересечения равна мощности множества .

Граничная точка множества – точка пространства, любая (открытая) окрестность которой содержит как точки, принадлежащие рассматриваемому множеству, так и не принадлежащие ему точки (точки его дополнения). Граничная точка множества может как принадлежать, так и не принадлежать этому множеству.

Пример 1

Для множества точек где n – натуральное число, граничными служат все эти точки и, кроме того, число 0.

Пример 2

Граничными точками интервала (а; b) служат его концы – точки а и b.

Пример 3

Для множества рациональных чисел из отрезка [0; 1] граничными служат вообще все точки этого отрезка – как рациональные, так и иррациональные. 

Пример 4

Для множества точек М(х; у) плоскости, координаты которых удовлетворяют условию  граничными являются точки двух концентрических окружностей с центром в точке О(0; 0) и радиусами r и R. Если в условии заменить строгие неравенства нестрогими, ответ не изменится.

Внутренняя точка множества действительных чисел – точка, некоторая открытая окрестность которой целиком состоит из точек данного множества.

Пример

Точка 0,75 – внутренняя точка отрезка [0; 1]: ее окрестность (0,7; 0,8) целиком лежит в этом отрезке.

2. Аналогично определяется внутренняя точка множества точек некоторого (метрического) пространства – это точка, содержащаяся в этом множестве вместе с некоторой открытой окрестностью.