31. Основные методы интегрирования

Наиболее важными методами интегрирования являются: 1) метод непосредственного интегрирования (метод разложения), 2) метод подстановки (метод введения новой переменной), 3) метод интегрирования по частям.

I. Метод непосредственного интегрирования

Задача нахождения неопределенных интегралов от многих функций решается методом сведения их к одному из табличных интегралов.

Пример 1.

∫(1-√x)²dx=∫(1-2√x+x)dx=∫dx-∫2√xdx+∫xdx=∫dx-2∫x dx+∫xdx=

Пример 2.

Пример 3. ∫sin²xdx

Так как sin²x= (1-cos2x), то ∫sin²xdx= (1-cos2x)dx= ∫dx- ∫cos2xd(2x)= x- sin2x+C

Пример 4. ∫sinxcos3xdx

Так как sinxcos3x= (sin4x-sin2x), то имеем ∫sinxcos3xdx= ∫(sin4x-sin2x)dx= ∫sin4xd(4x)- ∫sin2xd(2x)=- cos4x+ cos2x+C

Пример 5. Найти неопределенный интеграл: ∫cos(7x-3)dx

∫cos(7x-3)= ∫cos(7x-3)d(7x-3)= sin(7x-3)+C

Пример 6.

II. Метод подстановки (интегрирование заменой переменной)

Если функция x=φ(t) имеет непрерывную производную, то в данном неопределенном интеграле ∫f(x)dx всегда можно перейти к новой переменной t по формуле

∫f(x)dx=∫f(φ(t))φ'(t)dt

Затем найти интеграл из правой части и вернуться к исходной переменной. При этом, интеграл стоящий в правой части данного равенства может оказаться проще интеграла, стоящего в левой части этого равенства, или даже табличным.

Такой способ нахождения интеграла называется методом замены переменной.

Пример 7. ∫x√x-5dx

Чтобы избавиться от корня, полагаем √x-5=t. Отсюда x=t²+5 и, следовательно, dx=2tdt. Производя подстановку, последовательно имеем:

∫x√x-5dx=∫(t²+5)•2tdt=∫(2t⁴+10t²)dt=2∫t⁴dt+10∫t²dt=

Пример 8.

Так как , то имеем

Пример 9.

Пример 10. ∫e^-x3x²dx

Воспользуемся подстановкой -x³=t. Тогда имеем -3x²dx=dt и ∫e^-x3x²dx=∫e^t(-1/3)dt=-1/3e^t+C=-1/3e^-x3+C

Пример 11.

Применим подстановку 1+sinx=t , тогда cosxdx=dt и

III. Метод интегрирования по частям

Метод интегрирование по частям основан на следующей формуле:

∫udv=uv-∫vdu

где u(x),v(x) –непрерывно дифференцируемые функции. Формула называется формулой интегрирования по частям. Данная формула показывает, что интеграл ∫udv приводит к интегралу ∫vdu, который может оказаться более простым, чем исходный, или даже табличным.

Пример 12. Найти неопределенный интеграл ∫xe^-2xdx

Воспользуемся методом интегрирование по частям. Положим u=x, dv=e^-2xdx. Тогда du=dx, v=∫xe^-2xdx=- e^-2x+C Следовательно по формуле имеем: ∫xe^-2xdx=x(- e^-2x)-∫- ^-2dx=- e^-2x- e^-2x+C

Пример 13. ∫(x²+2x)cos2xdx

u=x²+2x, du=(2x+2)dx, dv=cos2xdx, v=∫cos2xdx= sin2x

∫(x²+2x)cos2xdx= (x²+2x)sin2x-∫(x+1)sin2xdx

u=x+1, du=dx, dv=sin2xdx, v=- cos2x

(x²+2x)sin2x-∫(x+1)sin2xdx= (x²+2x)sin2x+ (x+1)cos2x+ sin2x+C