31. Построение графика функции на основе ее полного анализа

    Провести полное исследование функции и построить её график Решение.         1) Область определения:         или        , то есть        . . Таким образом:         .         2) Точек пересечения с осью Ox нет. Действительно, уравнение         не имеет решений. Точек пересечения с осью Oy нет, так как        .         3) Функция ни чётная, ни нечётная. Симметрии относительно оси ординат нет. Симметрии относительно начала координат тоже нет. Так как . Видим, что         и        .         4) Функция непрерывна в области определения . ; . Следовательно, точка         является точкой разрыва второго рода (бесконечный разрыв). ; . Следовательно, точка         является точкой разрыва второго рода (бесконечный разрыв). 5) Вертикальные асимптоты:         Найдём наклонную асимптоту        . Здесь ; . Следовательно, имеем горизонтальную асимптоту: y=0. Наклонных асимптот нет.         6) Найдём первую производную. Первая производная: . И вот почему . Найдём стационарные точки, где производная равна нулю, то есть .         7) Найдём вторую производную. Вторая производная: . И в этом легко убедится, так как . Найдём точки перегиба графика функции , в которых вторая производная обращается в ноль. То есть Тестовые интервалы: Результаты исследования функции занесем в таблицу. Относительный максимум (-1;-2).         8) Данные таблицы нанесем на координатную плоскость. Используя результаты исследования функции, построим ее график.

    Посмотрите бесплатные решения из других разделов задачника Кузнецова Л.А. 1 Пределы 2 Производные 3 Графики 4 Интегралы 5 Дифференциальные уравнения 6 Ряды 7 Кратные интегралы 8 Векторный анализ 9 Аналитическая геометрия 10 Линейная алгебра 11 Уравнения математической физики

32. Первообразная функция. Неопределенный интеграл и его основные свойства

Первообразная функция  данной функции f(x) – такая функция F(x), производная которой на данном промежутке равна f(x). Отыскание первообразной функции – операция, обратная дифференцированию, ее называют также интегрированием. Эта операция неоднозначна – для данной интегрируемой функции f(x) существует бесконечно много первообразных, но каждые две из них отличаются на константу. Совокупность всех первообразных функций называется неопределенным интегралом от f(x). Обычно ее записывают в виде F(x) = Ф(х) + С, где Ф(х) – какая-нибудь первообразная (все равно какая), а С – произвольная постоянная величина.

Если функция  f ( x ) имеет первообразную на промежутке  X, и  k – число, то

Короче: постоянную можно выносить за знак интеграла.

Если функции  f ( x )  и  g ( x ) имеют первообразные на промежутке  X , то

Короче: интеграл суммы равен сумме интегралов.

Если функция  f ( x ) имеет первообразную на промежутке X , то для внутренних точек этого промежутка:

 

Короче: производная от интеграла равна подынтегральной функции.

 

Если  функция  f ( x )  непрерывна на промежутке  X  и дифференцируема во внутренних точках этого промежутка, то:

Короче: интеграл от дифференциала функции равен этой функции плюс постоянная интегрирования.

31. Таблица неопределенных интегралов от основных элементарных функций.