
- •Постоянные и переменные величины
- •Множества, операции над множествами. Символика математической логики.
- •Элементы логической символики
- •Действительные числа и их свойства
- •Понятие окрестности точки. Точки прикосновения, предельные, граничные и внутренние точки множества.
- •5. Открытые и замкнутые множества. Отрезок, интервал, промежуток действительной прямой. Ограниченные множества.
- •Понятие отображения (функции). Образы и прообразы множеств
- •Способы задания функций. Обратная функция, сложная функция.
- •Числовые последовательности.
- •Предел последовательности
- •Определение предела последовательности
- •Ограниченные и монотонные последовательности.
- •Примеры исследования последовательности на ограниченность
- •10. Теорема о единственности предела
- •Теорема о единственности предела Формулировка:
- •Доказательство:
- •Теорема о необходимом условии сходимости числовой последовательности.
- •Свойства сходящихся последовательностей, связанные с арифметическими действиями и неравенствами.
- •Предел функции
- •Свойства пределов функции, связанные с арифметическими действиями и неравенствами.
- •Предел сложной функции
- •Односторонние пределы
- •Предел монотонной функции
- •Теорема о существовании односторонних пределов у монотонных функций Формулировка:
- •Доказательство:
- •18. Бесконечно большие, бесконечно малые и эквивалентные величины
- •Бесконечно малая
- •Бесконечно большая величина
- •Свойства бесконечно малых и бесконечно больших
- •Теорема
- •Примеры использования
- •19. Основные виды неопределенностей
- •20. Замечательные пределы
- •21. Непрерывность функции в точке и на множестве. Арифметические операции с непрерывными функциями
- •22. Свойства функций, непрерывных на отрезке и 23. Основные теоремы о функциях, непрерывных на отрезках
- •24. Точки разрыва и их классификация
- •Точка разрыва первого рода
- •Точка разрыва второго рода
- •Точка устранимого разрыва
- •25. Производная и дифференциал функции. Связь с непрерывностью.
- •26. Геометрическое и механическое истолкование производной Геометрический смысл производной
- •Механический смысл производной
- •27. Геометрический смысл дифференциала
- •28. Дифференцируемость функции, необходимые и достаточные условия дифференцируемости
- •29. Таблица производных и дифференциалов основных элементарных функций.
- •30. Производная и дифференциалы суммы, произведения частного.
- •Производная сложной функции и обратной функции
- •Производные высших порядков
- •Механическое истолкования второй производной
- •Дифференциалы высших порядков
- •Признаки постоянства, возрастания и убывания функции на промежутке.
- •Нахождение максимумов и минимумов функции с помощью производных.
- •Нахождение наименьших и наибольших значений функции на замкнутом промежутке
- •Правило раскрытия неопределенности Лопиталя-Бернулли
- •Касательная к плоской кривой. Выпуклость и вогнутость плоской кривой
- •40.Точки перегиба графика функции на основе ее полного анализа
- •Первое достаточное условие перегиба.
- •Асимптоты
- •Построение графика функции на основе ее полного анализа
- •Первообразная функция. Неопределенный интеграл и его основные свойства
- •Основные методы интегрирования
- •I. Метод непосредственного интегрирования
- •II. Метод подстановки (интегрирование заменой переменной)
- •III. Метод интегрирования по частям
Постоянные и переменные величины
Переменные величины — это такие величины, которые в условиях данного вопроса могут принимать различные значения
Постоянные величины — это такие величины, которые в условиях данного вопроса сохраняют неизменные значения.
Переменные величины как правило обозначаются последними буквами латинского алфавита x, y, z. А постоянные — первыми a, b, c.
Множества, операции над множествами. Символика математической логики.
Множеством называется совокупность некоторых элементов, объединенных каким-либо общим признаком. Элементами множества могут быть числа, фигуры, предметы, понятия и т.п.
Множества обозначаются прописными буквами, а элементы множество строчными буквами. Элементы множеств заключаются в фигурные скобки.
Если элемент x принадлежит множеству X, то записывают x ∈ Х (∈ — принадлежит). Если множество А является частью множества В, то записывают А ⊂ В (⊂ — содержится).
Множество может быть задано одним из двух способов: перечислением и с помощью определяющего свойства.
Например, перечислением заданы следующие множества:
А={1,2,3,5,7} — множество чисел
Х={x1,x2,...,xn} — множество некоторых элементов x1,x2,...,xn
N={1,2,...,n} — множество натуральных чисел
Z={0,±1,±2,...,±n} — множество целых чисел
Множество (-∞;+∞) называется числовой прямой, а любое число — точкой этой прямой. Пусть a — произвольная точка числовой прямой иδ — положительное число. Интервал (a-δ; a+δ) называется δ-окрестностью точки а.
Множество Х ограничено сверху (снизу), если существует такое число c, что для любого x ∈ X выполняется неравенство x≤с (x≥c). Число с в этом случае называется верхней(нижней) гранью множества Х. Множество, ограниченное и сверху и снизу, называется ограниченным. Наименьшая (наибольшая) из верхних (нижних) граней множества называется точной верхней (нижней) гранью этого множества.
N |
{1,2,3,...,n} Множество всех натуральных чисел |
Z |
{0, ±1, ±2, ±3,...} Множество целых чисел. Множество целых чисел включает в себя множество натуральных. |
Q |
Множество рациональных чисел. Кроме
целых чисел имеются ещё и дроби. Дробь
— это выражение вида
Таким образом любое рациональное число можно записать десятичной дробью — конечно или бесконечной периодической. |
R |
Множество всех вещественных чисел. Иррациональные числа — это бесконечные непериодические дроби. К ним относятся:
Вместе два множества (рациональных и иррациональных чисел) — образуют множество действительных (или вещественных) чисел. |
Если множество не содержит ни одного элемента, то оно называется пустым множеством и записывается Ø.