1.2. Эмпирические законы излучения абсолютно черного тела

Изучение распределения энергии в спектре теплового излучения абсолютно черного тела при различных температурах привело к экспериментальному установлению следующих закономерностей.

Спектр излучения абсолютно черного тела является сплошным, то есть в спектре представлен непрерывный ряд различных длин волн. Распределение энергии в спектре излучения зависит от длины волны. С увеличением длины волны спектральная плотность энергетической светимости r* увеличивается, достигает отчетливо выраженного максимума при некоторой длине волны m, а затем уменьшается. С повышением температуры максимум излучения смещается в сторону более коротких волн (рис. 1.3).

Рис. 1.3. Испускательная способность черного тела при разных температурах Т

Если нагревать любое тело, то оно вначале краснеет, а с повышением температуры свечение тела становится все более белым. Это свидетельствует о том, что максимум интенсивности теплового излучения по мере повышения температуры тела смещается к фиолетовому концу спектра, то есть к его коротковолновой части. Длина волны _m в спектре излучения абсолютно черного тела, на которую приходится максимум спектральной плотности энергетической светимости, определяется законом смещения Вина:

(1.10)

где постоянная Вина b=2.90·10^-3 м·К.

Австрийский физик Й. Стефан, анализировавший экспериментальные данные, и Л. Больцман, исходивший из общих термодинамических соображений, установили зависимость энергетической светимости абсолютно черного тела от температуры. Согласно закону Стефана—Больцмана,

Энергетическая светимость абсолютно черного тела пропорциональна четвертой степени его термодинамической температуры (1.11)

Коэффициент пропорциональности — постоянная Стефана—Больцмана =5.67·10^-8 Вт·м^-2·К^-4.

1.3. Классические результаты для теплового излучения

Несмотря на детальное изучение характеристик теплового излучения, математический вид функций f(, Т) и u(, Т) долгое время оставался для физиков загадкой.

Попытка строгого теоретического вывода зависимости f(, Т) принадлежит английским ученым Дж. Рэлею и Дж. Джинсу. Воспроизведем их аргументы. Пусть полость представляет собой прямоугольный ящик с линейными размерами L_x, L_y, L_z вдоль соответствующих координатных осей. Рассмотрим стоячие электромагнитные волны вдоль оси х. Эти волны эквивалентны стоячим волнам, возникающим в струне. Их длины волн  должны удовлетворять соотношению откуда для проекции волнового вектора находим Число  нумерует разные типы волн, существующих на струне длины L_x. Поэтому число типов стоячих электромагнитных волн с проекциями волнового вектора в интервале от k_x до k_x+dk_x равно

(1.12)

Мы уменьшили результат в два раза, потому что стоячие волны с волновыми числами k_x и -k_x — это одно и то же колебание (направления распространения для стоячих волн не существует).

Аналогичные формулы можно записать для стоячих электромагнитных волн вдоль осей y и z:

(1.13)

Перемножая эти уравнения, находим полное число типов колебаний в прямоугольной полости, волновые векторы которых лежат в интервале от k до k+dk:

(1.14)

Здесь мы увеличили результат в два раза, чтобы учесть поперечность электромагнитных волн: при данной длине волны колебания могут осуществляться в двух взаимно ортогональных направлениях.

Используя сферические координаты, можем записать:

(1.15)

Учитывая, что получаем (опуская знак «минус»)

(1.16)

Произведение есть объем полости. Находим тогда для числа типов колебаний, приходящихся на единичный объем:

(1.17)

Далее Рэлей и Джинс применили классическую теорему о равнораспределении энергии по степеням свободы, согласно которой на каждую степень свободы в классической статистической системе приходится энергия (здесь k_B — постоянная Больцмана). У гармонического осциллятора средняя кинетическая энергия равна средней потенциальной, и поэтому его средняя энергия равна k_BТ. Аналогично в электромагнитной волне колеблются векторы напряженностей электрического и магнитного поля, которые дают одинаковый вклад в средний поток энергии. Поэтому для спектральной плотности энергии излучения Рэлей и Джинс нашли выражения:

(1.18)

Соответственно, для испускательной способности абсолютно черного тела были получены соотношения:

(1.19)

Для длинных волн формула Рэлея — Джинса дает хорошее совпадение с экспериментальными данными, но для коротких волн, то есть в области больших частот, расчетные значения спектральной плотности r*_ перестают совпадать с экспериментом (кривая уходит на бесконечность). Кроме того, энергетическая светимость черного тела также получается бесконечной:

(1.20)

Создавшееся положение было названо «ультрафиолетовой катастрофой». Таким образом, классическая физика оказалась не в состоянии объяснить важные экспериментальные данные.