5. Теория атома

Раз уж мы получили в руки такое мощное оружие, как уравнение Шредингера, то естественно вернуться к атому, начав с простейшего  атома водорода. Надо же убедиться, что квантовая механика приведет к тем же результатам, что и полуклассическая теория атома по Бору. К тому же есть надежда, что новая теория подарит нам неожиданные открытия. Жаль только, что изучение способов решения уравнения Шредингера не входит в рамки настоящего курса. Но не беда: мы постараемся обойтись без излишней математики, угадывая свойства решений на основе интуиции, выработанной при изучении классической физики. При этом, конечно, читателя никто обманывать не собирается: все «угаданное» может быть получено из уравнения Шредингера точными математическими расчетами.

5.1. Коммутирующие операторы

В предыдущей главе мы установили, что классические динамические переменные заменяются в квантовой механике на операторы, действующие на волновую функцию. Результатами измерения некой величины А всегда будут собственные значения А_п соответствующего оператора

Если система находится в каком-нибудь  собственном  состоянии _n оператора А, то измерение наверняка дает собственное значение А_п. Если же система находится в каком-то другом состоянии, то измерение величины А с определенной вероятностью дает какое-то из собственных значений, причем эта вероятность зависит от волновой функции состояния и, разумеется, от измеряемой величины А.

Пусть система находится в состоянии с определенным значением величины А. Это значит, что ее волновая функция является собственной функцией оператора А. Может ли другая величина В также иметь определенное значение? Иначе, может ли состояние быть собственным сразу и для оператора А, и для В?

Правило 3

Два оператора А и В имеют общий набор собственных состояний тогда и только тогда, когда они коммутируют:

Иначе: если результат последовательного действия двух операторов не зависит от порядка их применения, то соответствующие величины могут одновременно иметь определенные значения.

Рассмотрим пример

то есть для любой функции  или просто

Поскольку операторы рх и х не коммутируют, то координата частицы и ее проекция импульса на ту же ось не измеримы одновременно.

Этот вывод и есть истинный источник соотношений неопределенностей Гейзенберга, физический смысл которых разобран выше.

Особое значение имеет свойство коммутации операторов с гамильтонианом, то есть с оператором полной энергии Н. Если какой-то оператор А коммутирует с Н, то существует общее собственное состояние, которое стационарно по определению. В стационарном же состоянии система пребывает неограниченно долго. Это означает одновременно и сохранение величины А. Таким образом, утверждение о сохранении некой величины эквивалентно тому, что она может иметь определенное значение вместе с энергией, то есть соответствующий ей оператор коммутирует с гамильтонианом.

5.2. Момент импульса

В классической механике моментом импульса частицы (его также называют моментом количества движения или угловым моментом) выражается в виде векторного произведения радиуса-вектора на импульс частицы: То же соотношение верно для операторов квантовой механики: или по компонентам

(5.1)

и аналогично для других компонент Ранее обсуждалось, почему оператор проекции момента количества движения на какую-то ось связан с производной по углу поворота вокруг этой оси (см. уравнение (4.16)). В сферических координатах поворот вокруг оси z эквивалентен сдвигу по азимутальному углу , и потому оператор (4.1) имеет особенно простой вид

(5.2)

Выражения для других компонент L_x и L_y в сферических координатах довольно сложны, и мы выпишем здесь лишь оператор квадрата момента импульса

(5.3)

Выражение (5.3) также достаточно сложно, и мы его практически использовать не будем. Но, даже только глядя на него, уже можно сделать важные выводы

В оператор L2 входит не сам угол , а лишь производная по нему. Это означает, что оператор L2 коммутирует с оператором Lz. Так как ось z ничем не выделена, то оператор квадрата момента импульса коммутирует и с операторами проекции момента импульса на любую другую ось (в частности, с Lx и Ly). Из выражений для Lx и Ly (не приведены здесь) следует, что операторы Lx, Ly, Lz не коммутируют между собой.

Вместо формального математического доказательства последнего утверждения укажем источник этого свойства. Напомним, что L_x, L_y, L_z являются операторами поворота системы вокруг осей х, у, z соответственно. Но результат двух таких поворотов зависит от их последовательности (рис. 5.1), поэтому и операторы не коммутируют между собой.

Рис. 5.1. Иллюстрация некоммутирующих операторов L_x, L_y, L;. Г-образная фигура (1) сначала поворачивается на 90° вокруг оси х (2), затем — вокруг оси у (3). При обратной последовательности тех же поворотов конечный результат получается другим (4)

Из сказанного вытекает важное следствие: одновременно измеримы лишь квадрат момента импульса и одна из его проекций (в качестве таковой обычно выбирают L_z). Это значит, что вектор L в квантовой механике не имеет определенного направления и его нельзя считать классическим вектором с тремя определенными компонентами. Таким образом, «квантовый момент импульса» можно условно представить себе как вектор фиксированной длины (определенное значение квадрата момента импульса), направленный под фиксированным углом к оси z (определенное значение проекции), но прецессирующий вокруг этой оси (другие компоненты не определены). Это не более чем механическая аналогия, но она верно отражает существенные свойства момента импульса в квантовой механике.

Найдем теперь собственные функции и значения оператора L_z. Имеем уравнение откуда Заметим, что здесь L_z (без шляпки)  число, а не оператор.

При повороте на угол 2 система возвращается в первоначальное состояние. Чтобы волновая функция Ф() не изменилась, необходимо выполнение условия г де m  целое (не обязательно положительное) число. Константа А определяется условием нормировки: интеграл от функции углу , изменяющемуся от 0 до 2л, должен быть равен единице откуда следует, что Таким образом, мы приходим к условию квантования проекции момента импульса:

Проекция момента импульса Lz может принимать лишь целые значения в единицах постоянной Планка (5.4)

Число m называют магнитным квантовым числом. Собственная волновая функция оператора L_z, соответствующая данному значению т, имеет вид По сути дела, волновая функция Ф_т() описывает плоскую волну, бегущую по окружности. Роль координаты играет угол , роль волнового вектора  магнитное квантовое число т. Но значения переменной  ограничены пределами 0 и 2. Наша «круговая» волна как бы заключена в потенциальную яму и совершает финитное движение. Отсюда  квантование проекции момента импульса в соответствии с установленными выше законами квантовой механики.

Найдем теперь правила квантования квадрата момента импульса. Решение соответствующего уравнения для собственных функций оператора L² достаточно сложно, и мы заменим его не очень строгими, но простыми соображениями. Пусть в какой-то системе максимальная величина магнитного квантового числа т равна целому неотрицательному числу l. Тогда минимальное значение т, очевидно, равно l, так что т пробегает 2l+1 возможных значений:

В классическом случае максимально возможная проекция момента импульса совпадает с модулем вектора L. Но не следует ожидать, что оператор L² будет иметь собственные значения h²l². Мы уже знаем, что даже при максимальной величине проекции момент импульса не параллелен оси z (иначе были бы известны все три компоненты момента). Стало быть, собственные значения оператоpa L² должны быть больше h²l². Чему же они равны?

Если в пространстве нет выделенного направления, то любое значение т равновероятно, и среднее значение квадрата проекции момента на ось z равно При выводе использовалась известная формула для суммы квадратов целых чисел.

Заметим, что все три координатные оси равноправны, следовательно, тот же результат справедлив для средних значений квадратов остальных операторов проекции момента импульса: Но их сумма дает квадрат оператора момента импульса, среднее значение которого равно, таким образом,

(5.5)

Именно этой формулой описываются собственные значения оператора квадрата момента импульса, так что условно можно считать, что длина вектора L в квантовой механике равна Целое неотрицательное квантовое число l называют азимутальным квантовым числом.

Для сравнения получим тем же способом классический ответ. Если l  максимальное значение т для классического вектора, то т пробегает непрерывный ряд значений от l до l с равной вероятностью dm/21. Разница в том, что из-за непрерывности сумма заменяется интегралом, и мы получаем и аналогичные выражения для двух других средних. Складывая их, приходим к обычному результату классической физики При больших значениях l оба результата совпадают (опять  принцип соответствия Бора).

Главный итог этого раздела  знакомство с правилами квантования момента импульса: собственное значение квадрата момента импульса определяется величиной азимутального квантового числа l, а проекция момента импульса  величиной магнитного квантового числа т, которое может принимать любое из значений Если все-таки пытаться представить себе «квантовый вектор» момента количества движения как обычный вектор, то можно сказать, что при данной длине этого вектора он составляет с выделенной осью лишь строго определенные углы (рис. 5.2).

Рис. 5.2. Возможные ориентации вектора момента импульса при l=1: длина вектора равна 1.41, а его проекция на выделенную ось может принимать только значения 0 и +1 (в единицах h)

Подчеркнем еще раз, что эта картинка  всего лишь попытка изобразить квантовые свойства в классических образах.

Пример. Покажем, что согласно квантовой механике направление момента импульса L не может совпадать с выделенным в пространстве направлением и что в пределе больших азимутальных чисел l>>1 восстанавливаются классические свойства.

Поскольку модуль вектора момента импульса принимает значения а его проекция на выделенное направление равна то можно ввести угол  между направлением момента импульса и выделенной осью, так что cos  будет принимать лишь определенные значения Отсюда следует, что минимальное значение угла  определяется максимальным значением его косинуса, достигаемым при т=l:

Видно, что при любом конечном значении l угол не равен нулю. Например, для состояний с l=1 получаем то есть _MIN=45°, а для состояний с l=3 имеем и _MIN=30°. Видно, что с ростом l минимальный угол между моментом импульса и осью уменьшается, и в пределе получаем _MIN=0°. Это и есть классическое свойство момента импульса: способность быть в точности параллельным любому выделенному направлению.