4.2. Общее уравнение Шредингера

Волновая функция является главным объектом изучения в квантовой механике. Говоря о каком-то состоянии в классической физике, мы подразумевали, что в момент времени t=0 частица имела некие положение и скорость (импульс), а дальнейшая ее судьба предопределена уравнениями движения Ньютона.

Состояние в квантовой механике имеет иной смысл: в момент времени t=0 задана волновая функция, изменение которой регулируется пока не известным нам уравнением (Шредингера). В этом смысле теперь понимается причинность: в классике  точные предсказания положений и скоростей, в квантовой механике  предсказания состояний (волновых функций). Уравнения новой физики (в данном случае  уравнение Шредингера) никогда не выводятся логически из прежних принципов (иначе это будет не новая теория, а следствие старой). Но квантово-механическое уравнение должно иметь некие классические корни, поскольку классическая механика хороша в области своей применимости. Далее мы приведем не вывод, но наводящие соображения (как в разд. 3.3 для соотношений неопределенностей).

Свободной частице соответствует волна де Бройля, которую мы записываем в виде классической плоской волны (в комплексной форме)

(4.5)

где модуль волнового вектора k связан с длиной волны соотношением а С  амплитуда. Мы использовали уже известную связь энергии и импульса частицы с частотой и длиной волны де Бройля. Искомое уравнение для волновой функции не должно содержать Е и р, так как это  характеристики конкретного состояния частицы. Попробуем найти операции над волновой функцией свободной частицы, позволяющие исключить параметры Е и р. Имеем для производной по времени

(4.6)

и по пространственной координате х

(4.7)

Такие же уравнения возникнут при дифференцировании по у и z. Повторяя дифференцирование по координатам, получаем

(4.8)

Складывая (4.8) с аналогичными уравнениями для вторых производных по у и z, приходим к соотношению

(4.9)

где знаком  обозначен оператор Лапласа: В этом месте возникает различие между релятивистским и нерелятивистским случаями. Квантовая механика  нерелятивистская теория, в которой Это классическое coотношение позволяет связать дифференцирование по времени в (4.6) с дифференцированием по пространственным координатам в (4.9) и тем самым исключить из уравнения зависимость от энергии и импульса частицы:

(4.10)

Это уравнение вполне бы нас устроило, но написано оно пока только для свободной частицы. Легко понять, как должно выглядеть уравнение для системы с постоянным значением U₀ потенциальной энергии. Полная энергия равна сумме так что получаем

(4.11)

В случае частицы, находящейся в произвольном потенциальном поле, вблизи точки r потенциальную энергию можно считать постоянной величиной U(r), так что искомое обобщение почти с очевидностью следует из уравнения (4.11):

(4.12)

Это и есть основное уравнение квантовой механики  знаменитое общее уравнение Шредингера. Подчеркнем еще раз, что вывести его строго невозможно, но можно угадать, исходя из наводящих соображений. Соответствие уравнения и его следствий физической реальности проверяется экспериментально. Уравнение Шредингера по сути есть аналог классического соотношения между полной энергией Е частицы и ее кинетической энергией р²/2т. Для свободной частицы они совпадают. При наличии потенциального поля это соотношение принимает вид

Мы уже знаем, что полной энергии соответствует производная по t, компонентам импульса  производные по х, у, z, а кинетической энергии  вторые производные по пространственным координатам, поскольку импульс входит в нее во второй степени. Классической потенциальной энергии, как мы видим, в квантовой механике соответствует обычное произведение U(r) на волновую функцию.

Уравнение Шредингера линейно по искомой волновой функции, откуда сразу же вытекают следствия:

Если (t, r)  решение уравнения (4.12), то А(t, r)  также его решение при любой константе А. Следовательно, подбором постоянной А можно добиться выполнения условия нормировки (4.3). Если 1(t, r) и 2(t, r) решения уравнения Шредингера, то линейная комбинация А11(t, r)+А22(t, r)  также его решение (принцип суперпозиции, то есть основа явления интерференции).