Задачи на применение физического смысла производной

_{Пример 1. Материальная точка движется прямолинейно по закону , где x(t) — расстояние от точки отсчета в метрах, t— время в секундах, измеренное с начала движения. Найдите ее скорость (в метрах в секунду) в момент времени t=9c}

_{Решение}

_{Ответ: 60 м/с.}

_{Пример 2.Материальная точка движется прямолинейно по закону , где x(t) — расстояние от точки отсчета в метрах, t— время в секундах, измеренное с начала движения. В какой момент времени (в секундах) ее скорость была равна 3 м/с?}

_{Решение}

_{Если нам известна скорость точки в некий момент времени , следовательно нам известно значение производной в точке t0}

Решая уравнение получаем t₀=8(с)

Ответ: 8c

Пример 3. Материальная точка движется прямолинейно по закону , где x(t)— расстояние от точки отсчета в метрах, t— время в секундах, измеренное с начала движения. В какой момент времени (в секундах) ее скорость была равна 2 м/с?

Решение.

Найдем производную функции

По условию, скорость точки равна 2 м/с, значит, значение производной в момент времени t₀ равно 2. Получаем уравнение:

Решим его:

– не подходит по смыслу задачи: время не может быть отрицательным.

Ответ: 7c.

7. Исследование функции на возрастание, убывание с помощью производной.

Достаточное условие монотонности функции: если на некотором промежутке существует производная функции f(x), она сохраняет на этом промежутке знак и , то на этом промежутке функция возрастает. Если же , то убывает.

Критическими точками называются точки области определения функции, в которых производная функции равна 0 или не существует.

Схема исследования функции на возрастание и убывание

1. Найти область определения

2. Найти производную функции

3. Найти критические точки (приравнять производную к 0, найти точки, в которых

производная равна нулю или не существует)

4. Разбить область определения критическими точками на промежутки

5. Определить знак производной на каждом из промежутков

6. Сделать выводы о возрастании и убывании функции на этих промежутках.

Пример

Найти интервалы монотонности (возрастания и убывания) функции .

Найдём область определения

Найдём производную

_{Отсюда х=0,х=1, х=-1}

Разобьём область определения критическими точками на промежутки и определим знак производной на каждом из промежутков.

Ответ: (-∞, -1) (0,1)

(-1,0) (1,+∞)

Точка х₀ называется точкой локального максимума, если существует такая окрестность х₀, что для всех х из этой окрестности выполняется .

Точка х₀ называется точкой локального минимума, если существует такая окрестность х₀, что для всех х из этой окрестности выполняется .

х₀ х х₀ х

максимум минимум

Если в точке х₀ из области определения производная функции меняет знак с «+» на «-», то в этой точке функция достигает локального максимума.

Если в точке х₀ из области определения производная функции меняет знак с

«-» на «+», то в этой точке функция достигает локального минимума.

Таким образом функция может достигать максимума и минимума лишь в критических точках.

Точки локального максимума и минимума называются точками экстремума.

Схема исследования на экстремумы функции такая же как и схема исследования на возрастание и убывание, только необходимо сделать выводы об экстремумах.

Схема полного исследования функции и построения графика

1. Найти область определения

2. Найти нули функции

3. Найти промежутки возрастания и убывания (см. выше)

4. Найти точки максимумов и минимумов и значение функции в этих точках

5. Построить график функции.

Наибольшее и наименьшее значения функции.

После того, как все экстремальные значения функции найдены, определяется наибольшее М и наименьшее m значения функции в заданном интервале. Для этого нужно сравнить между собой значения функции в экстремальных точках и на концах интервала и выбрать из них наибольшее и наименьшее значения.

_Пример

Найти наименьшее и наибольшее значение функции на интервале [0; 3].

1.

2. при х = 0 и х = 1.

Эти точки принадлежат предоставленном интервала , т.е. х = 0, х = 1 .

Вычисляем значение функции на концах интервала и в точке х = 1.

.

.

.

Из полученных значений , .