Примеры нахождения значения производной в точке

Найти производную функции и вычислить её значение в точке х = 1.

Решение

а) .

.

Значение производной функции в точке х = 1 является

.

б) .

;

.

3. Производная сложной функции.

Пусть переменная y является функцией от переменной u ( ), а переменная u в свою очередь является функцией от независимой переменной х , тесть задана сложная функция .

Правило. Если - функции, имеющие производные, то производная сложной функции равна производной данной функции по промежуточному аргументу и и умноженной на производную самого промежуточно­го аргумента по независимой переменной х, т.е

Тогда таблица производных для сложных функций будет выглядеть

Пример

а) .

Функцию представим в виде , где .

Тогда на основании дифференцирования сложной функции

;

б)

Пусть , тогда .

, тоді .

, тоді .

Обычно при дифференцировании сложную функцию не раскладывают на простые, а дифференцируют таким образом

.

4. Алгоритм составления уравнения касательной к графику функции y = f(x)

1. Обозначить буквой х₀ абсциссу точки касания.

2. Найти f(х₀).

3. Найти f '(x) и f '(х₀).

4. Подставить найденные числа х₀, f(х₀), f '(х₀) в общее уравнение касательной

y - f(х₀) = f '(х₀)(x – х₀).

Пример . Составьте уравнение касательной в точке M(3; – 2) к графику функции

Решение

Точка M(3; – 2) является точкой касания, так как

1. х₀ = 3 – абсцисса точки касания.

2. f(3) = – 2.

3. f '(x) = x² – 4, f '(3) = 5.

y + 2 = 5(x – 3), у= 5х-15-2, y = 5x – 17 – уравнение касательной.

5. Понятие дифференциала

Если функция имеет производную в некоторой точке, то ее приращение в этой точке может быть представлена в виде , где – бесконечно малая величина по сравнению с (если ), т.е. . Выражение называют главной частью приращения функции или дифференциалом функции и обозначают dy. Так как , то тогда

. Отсюда _{, т.е. производная равна отношению дифференциала функции dy к дифференциалу аргумента dx.}

_Пример

_{Найти дифференциал функции}

_{Решение}

Применение дифференциала в приближенных вычислениях.

Дифференциал широко используется в приближенных вычислениях. Прежде всего очень часто приращение функции заменяют дифференциалом, который проще вычислять.

Допустим, что дана функция , для которой известно некоторое значение .

Пусть после этого аргумент получил малое приращение ∆х.

Тогда можно положить

то есть

. (_*)

Пример

а) найти квадратный корень из 3654;

б) найти без помощи таблиц .

а) Нужно найти значение при х = 3654.

Приняв х_о = 3600, получим ; .

.

Тогда по формуле (_*) получим

.

б) Считаем , х_о = 45^о, ∆х = 1^о = 0,0175 радиана .

Тогда имеем .

Значит .

6. Производные и дифференциалы высших порядков.

Пусть . Тогда производная называется производной первого порядка. Она в свою очередь является функцией от х и потому от неё тоже можно взять производную, которая называется производной второго порядка от исходной функции

Аналогично определяется производная третьего порядка

Следующие производные обозначаются , и т.д.

Физический смысл второй производной: производная от функции скорости или вторая производная от закона движения является ускорением