16. Двойственный симплекс-метод Двойственный симплекс-метод.
Смысл двойственного симплекс-метода заключается в том, что вместо прямой задачи решают двойственную при помощи обычного симплекс-метода. Затем по решению двойственной задачи находят оптимальное решение прямой. Для этого устанавливается взаимнооднозначное соответствие между переменными прямой и двойственной задач. Исходным переменным прямой задачи ставятся в соответствие дополнительные переменные двойственной, а дополнительным переменным исходной задачи ставятся в соответствие исходные переменные задачи прямой.
Пусть решена двойственная задача и получена оптимальная симплекс-таблица. Оптимальное решение прямой задачи определяется коэффициентами F-строки. Переменные прямой задачи приравниваются к коэффициентам при соответствующих им небазисных переменных в F-строке оптимальной симплекс-таблицы двойственной задачи. Остальные переменные равны нулю. Наиболее целесообразно применять двойственный симплекс-метод в случае, когда число ограничений прямой задачи намного больше, чем число неизвестных, а также в задачах целочисленного программирования.
Пример 1. Применяя двойственный симплекс-метод, решить следующую задачу:
F(x)=6x1+12x2 (min)
-2x1+3x2≤6;
4x1-3x2≤12;
3x1+x2≥3;
x1≤2;
x1,2≥0;
Приводим неравенства задачи к знаку ≥, умножая первое, второе и четвертое ограничения на (-1); тогда модель двойственной задачи будет иметь вид:
F(x)=-6y1-12y2+3y3-2y4 (max)
2y1-4y2+3y3-y4≤6
-3y1+3y2+y3≤12
y1≥0, y2≥0, y3≥0, y4≥0.
Решение двойственной задачи осуществляем обычным симплекс-методом (табл. 1 и 2).
Таблица 1
базисные переменные |
Свободные члены |
Небазисные переменные |
|||
y1 |
y2 |
y3 |
y4 |
||
y5 |
6 |
2 |
-4 |
3 |
-1 |
y6 |
12 |
-3 |
3 |
1 |
0 |
F |
0 |
6 |
12 |
-3 |
2 |
Таблица 2
базисные переменные |
Свободные члены |
Небазисные переменные |
|||
y1 |
y2 |
y5 |
y4 |
||
y3 |
2 |
2/3 |
-4/3 |
1/3 |
-1/3 |
y6 |
10 |
-11/3 |
13/3 |
-1/3 |
1/3 |
F |
6 |
8 |
8 |
1 |
1 |
Решение, соответствующее табл. 2, является оптимальным. Запишем соответствие между переменными прямой и двойственной задач. Если ограничения прямой задачи приводить к виду равенств, то в качестве дополнительных появятся переменные x3, x4 , x5, x6.
Тогда
В F-строке расположены коэффициенты при небазисных переменных y1, y2, y5, y4. Найдем оптимальное решение прямой задачи:
x3 = 8; x4 = 8; x1 =1; x6 =1.
Переменная x5 , соответствующая y3, и x2, соответствующая y6 , равны нулю.
min F( y) = max F(x) = 6.
Таким образом, решая симплексным методом одну из пары двойственных задач, автоматически получаем решение другой.