14. Определение двойственной задачи.

Исходную задачу линейного программирования будем называть прямой. Двойственная задача — это задача, формулируемая с помощью определенных правил непосредственно из прямой задачи.

    При изложении теории двойственности часто рассматривают формулировки двойственной задачи в зависимости от различных видов прямой задачи, которые определяются типами ограничений, знаками переменных (неотрицательные или свободные, т.е. без ограничения в знаке) и типом оптимизации (максимизация или минимизация целевой функции). Приведем единую формулировку двойственной задачи, применимую ко всем видам прямой задачи. В основу такой формулировки положена стандартная форма прямой задачи. Напомним, что задача ЛП в стандартной форме записывается следующим образом. Максимизировать или минимизировать целевую функцию

при ограничениях

    В состав n переменных х_j входят также дополнительные переменные. Стандартная форма задачи линейного программирования предполагает выполнение следующих условий.

1. Все ограничения записаны в виде равенств (с неотрицательной правой частью).

2. Все переменные неотрицательны.

3. Оптимизация определяется как максимизация или минимизация целевой функции.

    Стандартная форма задачи линейного программирования порождает стандартную таблицу симплекс-метода. Решение двойственной задачи можно получить непосредственно из симплекс-таблицы, соответствующей оптимальному решению прямой задачи. Таким образом, определив двойственную задачу на основе стандартной формы прямой задачи, после вычислений симплекс-метода мы автоматически получаем решение двойственной задачи. Переменные и ограничения двойственной задачи формируются путем симметричных структурных преобразований прямой задачи по следующим правилам:

1. Каждому из m ограничений прямой задачи соответствует переменная двойственной задачи.

2. Каждой из n переменных прямой задачи соответствует ограничение двойственной задачи.

3. Коэффициенты при какой-либо переменной в ограничениях прямой задачи становятся коэффициентами ограничения двойственной задачи, соответствующей этой переменной, а правая часть формируемого ограничения равна коэффициенту при этой переменной в выражении целевой функции.

4. Коэффициенты целевой функции двойственной задачи равны правым частям ограничений прямой задачи.

   

Графически эти правила можно представить:

    Правило определения типа оптимизации, ограничений и знака переменных двойственной задачи:

    На следующм шаге рассмотрим пример на построение двойственной задачи из прямой задачи.

15. Свойства двойственной задачи.

1. Если целевая функция исходной задачи формулируется на максимум, а целевая функция двойственной задачи – на минимум, при этом в задаче на максимум все неравенства в ограничениях приводят к виду “   ”, а в задаче на минимум – вид “   ”.

2. Матрица, составленная из коэффициентов при неизвестных в системе ограничений исходной задачи, и аналогичная матрица в двойственной задаче являются транспонированными по отношению друг к другу.

3. Число переменных в двойственной задаче равно числу ограничений исходной задачи, а число ограничений двойственной задачи – числу переменных в исходной задаче.

4. Коэффициентами при неизвестных в целевой функции двойственной задачи являются свободные члены в системе ограничений исходной задачи.

5. Правыми частями в ограничениях двойственной задачи являются коэффициенты при неизвестных в целевой функции исходной задачи.

6. Предполагается, что переменные в обеих задачах являются неотрицательными.

Двойственные пары задач подразделяются на симметричные и несимметричные. Всимметричных задачах ограничения прямой и двойственной задач являются неравенствами, переменные могут принимать неотрицательные значения. Внесимметричных задачах ограничения прямой задачи могут быть уравнениями, а двойственной неравенствами, переменные могут принимать любые значения.

Замечание.

Двойственная задача к двойственной будет исходной.

Замечание.

Для построения двойственной задачи следует проверить выполнение для исходной задачи следующих условий: а) во всех ограничениях свободные члены содержатся в правой части неравенства (равенства), члены с неизвестными - в левой; б) все ограничения неравенства исходной задачи должны быть записаны так, чтобы знаки неравенств в них были направлены в одну и туже сторону; в) знаки неравенств системы ограничений связаны с оптимизацией целевой функции таким образом:   ;

Между взаимно двойственными ЗЛП имеет место взаимосвязь, которая следует из теорем двойственности.