Базис. Разложение векторов по базису.

     Определение. Базисом в пространстве Rⁿ называется любая система из n-линейно независимых векторов. Каждый вектор из Rⁿ, не входящих в базис, можно представить в виде линейной комбинации базисных векторов, т.е. разложить по базису.      Пусть   – базис пространства Rⁿ и  . Тогда найдутся такие числа λ₁, λ₂, …, λ_n, что  .      Коэффициенты разложения λ₁, λ₂, …, λ_n, называются координатами вектора   в базисе В. Если задан базис, то коэффициенты вектора определяются однозначно.      Пример. Доказать, что векторы   образуют базис в R³.      Решение. Покажем, что равенство   возможно только при λ₁ = λ₂ = λ₃ =0:            или       Решив систему, получим λ₁=0, λ₂=0, λ₃=0. Так как все λ_i=0 (i=1,2,3), то   - линейно независимы. Они могут составить базис в R³.      Очевидно, любой новый набор из векторов       может тоже быть взятым в качестве базиса в R³. Итак, базис может быть выбран неединственным образом.      Пример. Разложить вектор   по базису  .      Решение.  . Подставим координаты всех векторов и выполним действия над ними:            Приравняв координаты, получим систему уравнений:            Решим ее:  .      Таким образом, получим разложение:  .      В базисе   вектор   имеет координаты  .     Замечание. В каждом n-мерном векторном пространстве можно выбрать бесчисленное множество различных базисов. В различных базисах один и тот же вектор имеет различные координаты, но единственные в выбранном базисе.

13. Метод искусственного базиса для нахождения исходного допустимого базисного решения.

Симплекс метод

• Табличный симплекс-метод

• Метод искусственного базиса

Симплекс-метод - алгоритм решения оптимизационной задачи линейного

программирования путём перебора вершин выпуклого многогранника в многомерном

пространстве. Данный метод, имеющий несколько различных форм (модификаций), был

разработан в 1947 году Г. Данцигом.

Задача линейного программирования состоит в том, что необходимо максимизировать или

минимизировать некоторый линейный функционал на многомерном пространстве при

заданных линейных ограничениях.

Метод искусственного базиса.

Метод искусственного базиса используется для нахождения допустимого базисного решения задачи линейного программирования, когда в условии присутствуют ограничения типа равенств. Рассмотрим задачу:

max{F(x)=∑c_ix_i|∑a_jix_i=b_j, j=1,m; x_i≥0}.

В ограничения и в функцию цели вводят так называемые «искусственные переменные» R_j следующим образом:

∑a_jix+R_j=b_j, j=1,m;F(x)=∑c_ix_i-M∑R_j

При введении искусственных переменных в методе искусственного базиса в функцию цели им приписывается достаточно большой коэффициент M, который имеет смысл штрафа за введение искусственных переменных. В случае минимизации искусственные переменные прибавляются к функции цели с коэффициентом M. Введение искусственных переменных допустимо в том случае, если в процессе решения задачи они последовательно обращаются в нуль.

Симплекс-таблица, которая составляется в процессе решения, используя метод искусственного базиса, называется расширенной. Она отличается от обычной тем, что содержит две строки для функции цели: одна – для составляющей F = ∑c_ix_i, , а другая – для составляющей M ∑R_j Рассмотрим процедуру решения задачи на конкретном примере.

Пример 1. Найти максимум функции F(x) = -x₁ + 2x₂ - x₃ при ограничениях:

2x₁+3x₂+x₃=3,

x₁+3x₃=2,

x₁≥0, x₂≥0, x₃≥0 .

Применим метод искусственного базиса. Введем искусственные переменные в ограничения задачи

2x₁ + 3x₂ + x₃ + R₁ = 3;

x₁ + 3x₃ + R₂ = 2 ;

Функция цели F(x)-M ∑R_j= -x₁ + 2x₂ - x₃ - M(R₁+R₂).

Выразим сумму R₁ + R₂ из системы ограничений: R₁ + R₂ = 5 - 3x₁ - 3x₂ - 4x₃, тогда F(x) = -x₁ + 2x₂ - x₃ - M(5 - 3x₁ - 3x₂ - 4x₃) .

При составлении первой симплекс-таблицы (табл. 1) будем полагать, что исходные переменные x₁, x₂ , x₃ являются небазисными, а введенные искусственные переменные – базисными. В задачах максимизации знак коэффициентов при небазисных переменных в F- и M-строках изменяется на противоположный. Знак постоянной величины в M-строке не изменяется. Оптимизация проводится сначала по M-строке. Выбор ведущих столбца и строки, все симплексные преобразования при испльзовании метода искусственного базиса осуществляются как в обычном симплекс-методе.

Максимальный по абсолютному значению отрицательный коэффициент (-4) определяет ведущий столбец и переменную x₃, которая перейдет в базис. Минимальное симплексное отношение (2/3) соответствует второй строке таблицы, следовательно, переменная R₂ должна быть из базиса исключена. Ведущий элемент обведен контуром.

В методе искусственного базиса искусственные переменные, исключенные из базиса, в него больше не возвращаются, поэтому столбцы элементов таких переменных опускаются. Табл. 2. сократилась на 1 столбец. Осуществляя пересчет этой таблицы, переходим к табл. 3., в которой строка M обнулилась, ее можно убрать. После исключения из базиса всех искусственных переменных получаем допустимое базисное решение исходной задачи, которое в рассматриваемом примере является оптимальным:

x₁=0; x₂=7/9; F_max=8/9.

Если при устранении M-строки решение не является оптимальным, то процедура оптимизации продолжается и выполняется обычным симплекс-методом. Рассмотрим пример, в котором присутствуют ограничения всех типов:≤,=,≥

Пример 2. Найти минимальное значение функции F(x) = 2x₁ + 3x₂ - x₃ при следующих ограничениях

2x₁+x₂-3x₃≥6,

x₁-x₂+2x₃=4,

x₁+x₂+x₃≤5,

x₁≥0, x₂≥0, x₃≥0 .

Домножим первое из ограничений на (-1) и введем в ограничения дополнительные переменные x₄ , x₅ и искусственную переменную R следующим образом:

-2x₁-x₂+3x₃+x₄=-6,

x₁-x₂+2x₃+R=4,

x₁+x₂+x₃+x₅=5,

Пусть x₄ , R и x₅ – базисные переменные, а x₁, x₂ , x₃– небазисные. Функция цели F(x)=F(x)+M∑R=2x₁+3x₂-x₃+M(4-x₁+x₂-2x₃).

В первой симплекс-таблице (табл. 4.) коэффициенты при небазисных переменных в F-строке и M-строках знака не меняют, так как осуществляется минимизация функции. Свободный член в методе искусственного базиса в M-строке берется с противоположным знаком. Решение, соответствующее табл. 4, не является допустимым, так как есть отрицательный свободный член.

Выберем ведущий столбец и строку в соответствии с шагом 2 алгоритма решения . После пересчета получим табл. 5. Оптимизация решения в методе искусственного базиса (шаг 5 алгоритма) осуществляется вначале по M-строке. В результате x₃введем в базис, а переменную R исключим из рассмотрения, сократив количество столбцов. После пересчета получим табл. 6, которая соответствует оптимальному решению задачи.

Таблица 4

базисные переменные	Свободные члены	Небазисные переменные
		x1	x2	x3
x4	-6	-2	-1	3
R	4	1	-1	2
x5	5	1	1	1
F	0	2	3	-1
M	-4	-1	1	-2

Таблица 5

базисные переменные	Свободные члены	Небазисные переменные
		x4	x2	x3
x1	3	-1/2	1/2	-3/2
R	1	1/2	-3/2	7/2
x5	2	1/2	1/2	5/2
F	-6	1	2	2
M	-1	-1/2	3/2	-7/2

Таблица 6

базисные переменные	Свободные члены	Небазисные переменные
		x4	x2
x1	24/7	-2/7	-1/7
x3	2/7	1/7	-3/7
x5	9/7	1/7	11/7
F	-46/7	5/7	20/7
M	0	0	0

Искомый минимум функции F(x) равен свободному члену F-строки табл. 6, взятому с обратным знаком, так как min F(x) = -max(-F(x)); x₄ = x₂ = 0;

x₁=24/7; x₃=2/7; x₅=9/7; F_min=46/7;