7.Графический метод решения задач линейного программирования. Область допустимых решений. Линия уровня. Градиент целевой функции.

Графическим методом можно решать задачи линейного программирования с двумя переменными, представленные  в неканоническом виде, или сводящиеся к ним. Рассмотрим следующую задачу: найти экстремум функции 

при ограничениях:

х₁0,  х₂0.

Решение задачи начинают с построения области допустимых решений. При этом возможны следующие случаи:

1. Область допустимых решений - пустое множество. В этом случае задача линейного программирования не имеет оптимального решения из-за несовместности системы ограничений.

2. Область допустимых решений - единственная точка. Тогда задача линейного программирования имеет единственное и оптимальное решение.

3. Область допустимых решений - выпуклый многоугольник. В этом случае, чтобы найти оптимальное решение задачи, можно найти координаты всех угловых точек многоугольника, вычислить значения целевой функции во всех угловых точках и выбрать наибольшее (или наименьшее) из этих значений. Координаты соответствующей угловой точки являются оптимальным решением.

Существует и другой способ, который позволяет сразу найти графически угловую точку, соответствующую оптимальному решению.

Пусть с₀ - некоторое число. Прямая   является линией уровня целевой функции. В каждой точке этой прямой целевая функция принимает одно и то же значение, равное с₀. Вектор - градиент целевой функции

перпендикулярен  линиям уровня и показывает направление, в котором эта функция возрастает с наибольшей скоростью. Выбирая из линий уровня, проходящих через область допустимых решений, наиболее удаленную в направлении вектора   (в случае минимизации - в противоположном направлении), определим угловую точку, в которой целевая функция принимает максимальное (минимальное) значение. Если экстремум достигается сразу в двух смежных угловых точках, то, по теореме об альтернативном оптимуме, оптимальным решением будет любая точка отрезка, соединяющего эти точки:

,      .

4. Область допустимых решений - выпуклая неограниченная область.

В этом случае экстремум может не существовать из-за неограниченности целевой функции сверху в задаче на максимум, т.е. , или снизу в задаче на минимум, т.е.  , или находиться в одной из угловых точек области допустимых решений.

 

Алгоритм графического метода

1.    Построить область допустимых решений.

2.    Построить вектор-градиент целевой функции  .

3.    Построить семейство линий уровня, перпендикулярных вектору  , проходящих через область допустимых решений.

4.    Выбрать линию уровня, проходящую через область допустимых решений и наиболее удаленную в направлении вектора   (или в противоположном вектору   направлении - в задаче на минимум). Определить угловые точки области, через которые она проходит.

5.    Найти координаты точек экстремума и значение целевой функции в этих точках.

 

8. Понятие об n-мерных векторах. Операции над ними. Линейная зависимость векторов. Базис.

 Определение. Множеством называется совокупность объектов любой природы, которые объединены в одну группу (систему, совокупность) по тем или иным признакам (множество городов, множество положительных чисел, множество студентов, множество действительных чисел и т.д.).      Принадлежность элемента х множеству Х обозначается: х є Х.      Способы записи множеств: А={х₁, х₂,…, х_n}, А= {1, 2, 3, … ,10}, А= {а є R | |a| ≥1}, Х = {х: |x-a|≤b}.       Определение. Множество U образует линейное пространство, если для любых двух его элементов   є U и   є U определены операция сложения:   и операция умножения любого элемента на число:  , удовлетворяющие свойствам:         1) ,         2) ,         3) ,         4) ,         5) ,         6) ,         7) ,         8) , где  ,   – нулевой элемент  , а коэффициенты α, β, λ, 1 – действительные числа.      Определение. Вектором размерности n называется упорядоченный набор из n действительных чисел. Будем записывать вектор в виде  , где   - координаты вектора. Размерность вектора определяется числом его координат и является его отличительной характеристикой. Векторы равны, если они одной размерно-сти и имеют равные соответствующие координаты: (2,3,5) = (2,3,5). Нуль-вектор   = (0,0,…,0) не следует путать с числом нуль.      Определение. Множество всех векторов размерности n называется арифметическим n-мерным векторным пространством и обозначается Rⁿ.      Экономические величины являются многофакторными (многомерными), и n-мерные векторы служат удобной формой их представления. Например, некоторый набор товаров различных сортов можно охарактеризовать вектором  , а соответствующие цены – вектором  .