5. Геометрический смысл решений уравнений и систем уравнений с двумя неизвестными.

Возьмем любое уравнение относительно х и у:

и рассмотрим все точки   некоторой плоскости, координаты которых удовлетворяют этому уравнению. Эти точки образуют некоторое множество Г, и мы будем говорить, что уравнение (1) задает (или выражает) это множество. Обычно множество Г является некоторой линией. В этом случае уравнение (1) называют уравнением линии Г.

Чтобы найти точки линии   имеющие абсциссу а, надо подставить в уравнение вместо х значение а. Мы получим уравнение с одним неизвестным:

Может случиться, что это уравнение не имеет ни одного действительного корня. Тогда на линии нет точек с абсциссой  . Если же уравнение (2) имеет один или несколько корней, то каждому корню соответствует точка линии, имеющая абсциссу а.

Для некоторых уравнений на плоскости нет ни одной точки, координаты которых удовлетворяли бы этим уравнениям. Примером может служить

Ведь если   — действительные числа, то   а потому  . Другим уравнениям соответствует лишь одна точка на плоскости. Например, возьмем уравнение

Так как   то это уравнение может удовлетворяться лишь в случае, когда  . Иными словами, уравнение (3) задает на плоскости одну точку 

Однако такие случаи являются в некотором смысле исключительными, и мы ограничимся рассмотрением случаев, когда уравнение   задает некоторую линию.

Перейдем теперь к выяснению геометрического смысла решений систем уравнений с двумя неизвестными. Возьмем такую систему:

Каждому из этих уравнений соответствует линия, координаты всех точек которой (и только этих точек!) удовлетворяют этому уравнению. Мы же ищем точки   координаты которых удовлетворяют обоим уравнениям. Ясно, что эти точки принадлежат обеим линиям, то есть являются точками их пересечения.

Итак, задача о решении системы уравнений равносильна задаче об отыскании точек пересечения соответствующих линий. Каждой точке пересечения линий соответствует решение системы.

6. Выпуклые множества точек. Теорема о пересечении выпуклых множеств. Точки: внутренние, граничные, угловые.

В школьном курсе математики выпуклыми назывались многоугольники, целиком расположенные по одну сторону от прямых, на которых лежат их стороны.

Например, многоугольник на рисунке 2.1, а – выпуклый, а многоугольник на рисунке 2.1, б не является выпуклым (он расположен по обе стороны от прямой ВС).

 

Рисунок 2.1 – Выпуклый и невыпуклый многоугольники

 

Общим определяющим свойством, которое отличает выпуклый многоугольник от невыпуклого, является то, что если взять любые две его точки и соединить их отрезком, то весь отрезок будет принадлежать этому многоугольнику. Это свойство может быть принято за определение выпуклого множества точек.

Множество точек называется выпуклым, если оно вместе с любыми двумя своими точками содержит весь отрезок, соединяющий эти точки.

Согласно этому определению многоугольник на рисунке 2.1, а является выпуклым множеством, а многоугольник на рисунке 2.1, б таковым не является, ибо отрезок MN между двумя его точками М и N не полностью принадлежит этому многоугольнику.

Выпуклыми множествами могут быть не только многоугольники. Примерами выпуклых множеств являются круг, сектор, отрезок, многоугольная область, куб, пирамида (рисунок 2.2, а – е), многогранная область, прямая, полуплоскость, полупространство и т.п.

Рисунок 2.2 – Выпуклые множества

 

Выпуклые множества обладают важным свойством, которое устанавливается следующей теоремой.

Теорема 2.2. Пересечение (общая часть) любого числа выпуклых множеств есть выпуклое множество.

Пусть M и N – любые две точки пересечения двух множеств (для доказательства теоремы ограничимся случаем двух множеств) А и В (рисунок 2.3).

 

Рисунок 2.3 – Доказательство теоремы 2.2

 

Так как точки М и N принадлежат пересечению множеств, т.е. одновременно и выпуклому множеству А, и выпуклому множеству В, то согласно определению выпуклого множества все точки отрезка MN будут принадлежать как множеству А, так и множеству В, т.е. пересечению этих множеств. А это и означает, что пересечение данных множеств есть выпуклое множество.

Среди точек выпуклого множества можно выделить внутренние, граничные и угловые точки.

Точка множества называется внутренней, если в некоторой ее окрестности (под окрестностью точки плоскости (пространства) подразумевается круг (шар) с центром в этой точке) содержатся точки только данного множества.

Точка множества называется граничной, если в любой ее окрестности содержатся как точки, принадлежащие данному множеству, так и точки, не принадлежащие ему.

Особый интерес в задачах линейного программирования представляют угловые точки.

Точка множества называется угловой (или крайней), если она не является внутренней ни для какого отрезка, целиком принадлежащего данному множеству.

На рисунке 2.4 приведены примеры различных точек многоугольника: внутренней (точки М), граничной (точка N) и угловых (точки А, В, С, D, Е). Точка А – угловая, так как для любого отрезка, целиком принадлежащего многоугольнику, например, отрезка АР, она не является внутренней; точка А – внутренняя для отрезка KL, но этот отрезок не принадлежит целиком многоугольнику.

Рисунок 2.4 – Примеры различных точек многоугольника

 

Для выпуклого множества угловые точки всегда совпадают с вершинами многоугольника (многогранника), в то же время для невыпуклого множества это не обязательно. Так, на рисунке 2.5 точка А является вершиной невыпуклого многоугольника, но не угловой (она является внутренней для отрезка KL, целиком принадлежащего этому многоугольнику).

 

Рисунок 2.5 – Невыпуклый многоугольник