/1)Векторы в пространстве:
Вектор – направленный отрезок называется вектором ā
Вектором наз. упорядоченная совокупность чисел Х={X1,X2,...Xn} вектор дан в n-мерном пространстве. Т(X1,X2,X3). n=1,2,3. Геометрический вектор - направленный отрезок. |AB|=|a| - длинна. 2 вектора наз. коллинеарными, если они лежат на 1 прямой или ||-ных прямых. Векторы наз. компланарными, если они лежат в 1-ой плоскости или в ||-ных плоскостях. 2 вектора равны, когда они коллинеарны, сонаправленны, и имеют одинак-ую длинну.
Линейные операции над векторами обладают следующими свойствами:
1. а+b=b+а
2. (а +b) +с=а + (b +с),
3. λ1 • (λ2 •а) =λ1 •λ2 •а,
4. (λ1 +λ2) •а =λ1 •а +λ2 •а,
5. λ • (а +b) =λ •а+λ •b.
Операции с векторами:
Сложение (результат - вектор)
Правило треугольника
Правило параллелограмма
Если вектора заданы в прямоугольной системе координат ā (а1,а2), в-(в1,в2), то чтобы найти сумму надо сложить с-(а1+в1;а2+в2)
2) Арифметические векторы пространства R
Арифметическим вектором называется упорядоченная совокупность n чисел.
Обозначается x = (x1, x2, ..., xn);
числа x1, x2, ..., xn называются компонентами арифметического вектора.
Для арифметических векторов определены линейные операции — сложениеарифметических векторов и умножение вектора на число:
для любых x = (x1, x2, ..., xn), y = (y1, y2, ..., yn) и любого числа α справедливо:
x + y = (x1+ y1, x2 +y2, ..., xn+ yn); αx = (αx1, αx2, ..., αxn).
Множество арифметических векторов, для которых определены операции сложения и умножения на число называется пространством арифметических векторов Rn.
Вектор θ = (0, 0, ..., 0) называется нулевым вектором Rn,
а вектор −x = (−x1, −x2, ..., −xn) — противоположным вектором для вектора x вRn.
3)Скалярное произведение двух векторов в пространстве определяется аналогично случаю на плоскости:
.
Формула скалярного квадрата:
.
Справедлива формула, связывающая скалярное произведение векторов и проекции этих векторов:
.
(1)
4)Линейная зависимость векторов. Действия над векторами в координатной форме
Векторы
называются линейно
независимыми,
если равенство
справедливо тогда
и только тогда, когда
В противном случае эти векторы называются
линейно
зависимыми.
Для того чтобы векторы
были линейно зависимыми, необходимо и
достаточно, чтобы хотя бы один из них
можно было представить в виде линейной
комбинации остальных.
5) Ортогональность векторов
Ортогональными (перпендикулярными) называются векторы, скалярное произведение которых равно нулю. Это определение применимо к любым пространствам с положительно определённым скалярным произведением. Важной особенностью понятия является его привязка к конкретному используемому скалярному произведению: при смене произведения ортогональные элементы могут стать неортогональными, и наоборот.
6)Базис пространства R
Базис векторного пространства и его размерности.
Базисом на плоскости называется совокупность фиксированной точки и 2х неколлинеарных векторов, проведенных к ней.
Базисом в пространстве наз. совокупность фиксированной точки в пространстве и 3х некомпланарных векторов.
Любой вектор на плоскости может быть разложен по векторам базиса на плоскости. Любой вектор в пространстве может быть разложен по векторам базиса в пространстве.
ОС=OA+OB, OA=x*i, OB=j*y, OC=xi+yj. Числа х,у называются координатами вектора ОС в данном базисе
(НЕОБЯЗАТЕЛЬНО)Упорядоченная
тройка
ненулевых линейно-независимых векторов
образует базис
в трехмерном пространстве. Любой вектор
пространства единственным образом
может быть разложен
по базисным векторам,
т.е. представлен в виде
где
– координаты вектора
в базисе
(записывают:
).
В пространстве линейная независимость векторов равносильна их некомпланарности, т.е. любые три некомпланарных вектора, взятые в определенном порядке, образуют базис.
Пусть задана тройка
некомпланарных векторов. Совместим
начала этих векторов. Если кратчайший
поворот вектора
до направления вектора
,
наблюдаемый с конца вектора
совершается против часовой стрелки,
то тройка векторов
называется правой.
В противном случае – левой.
Всюду далее рассматриваются правые
тройки базисных векторов.
В случае, когда
базисные векторы попарно перпендикулярны,
система координат называется прямоугольной
декартовой.
Если добавить, кроме того, условие
нормированности базисных векторов
(т.е. их единичную длину), то такой базис
называют ортонормированным
и обозначают
:
Прямоугольные декартовы координаты
вектора
является его проекциями на вектора
соответственно.
Если точка M имеет прямоугольные декартовы координаты x, y, z в системе координат с началом в точке O(0, 0, 0) и базисом , то соответствующий радиус-вектор
Если
и
,
то
.
Линейные
операции для векторов
и
в координатной форме и их скалярное
произведение вычисляются по формулам:
;
(4)
(5)
(6)
;
(7)
.
(8)
Направляющими
косинусами
вектора
называются величины
,
где
углы,
которые образует вектор
соответственно с осями
.
Их вычисляют по формулам:
(9)
Если
единичный
вектор, то
.