7) Основные сведения о матрицах

Матрицей называется прямоугольная таблица, составленная из элементов некоторого множества. Горизонтальные ряды такой таблицы называются строками матрицы, а вертикальные – ее столбцами. Матрицы обозначают A, B, C, X … . Запись a_ij используется для указания местоположения элемента матрицы (i – номер строки, j – номер столбца). Числовую матрицу размера (то есть состоящую из m строк и n столбцов чисел) в общем случае записывают в виде:

или в более компактной форме , .

Eё обозначают также .

Если , то матрицу называют квадратной и обычно обозначают A_n. Элементы a_ii, ( ) такой матрицы образуют ее главную диагональ.

Квадратная матрица вида , (1)

где , называется диагональной. Если для любого , то матрица (1) называется единичной и обозначается E_n.

Нулевой матрицей называется матрица, все элементы которой равны нулю. Обозначают такую матрицу буквой O.

Две матрицы одинакового размера

и (2)

называются равными, если для всех .

8) Операции над матрицами (сложение, вычисление, умножение)

Суммой матриц (2) называется матрица A+B размера m×n, состоящая из элементов , где .

Произведением матрицы A_m×n на число α называется матрица .

Разностью матриц (2) называется матрица A–B = A+ (–1)B.

Свойства операций сложения матриц и умножения на число:

1. 

2. 

3. 0·A=О;

4. 

5. 

6. 

7. A и B – матрицы одинакового размера.

Для матриц A и B может быть введена операция умножения A·B при условии, что матрицы согласованы, т. е. количество столбцов матрицы A равно количеству строк матрицы B.

Произведением матрицы A_l×m на матрицу B_m×n называется матрица элементы которой

.

Для получения элемента матрицы – произведения умножают последовательно каждый элемент строки матрицы А на каждый элемент j-го столбца матрицы В и находят сумму этих произведений.

Свойства операции умножения матриц:

1. 

2. 

3. 

4. 

В общем случае из существования AB не следует существование BA. Даже если оба эти произведения определены, они не всегда равны. Матрицы, для которых называются коммутативными.

Пусть A – квадратная матрица. Тогда k-я степень ( ) матрицы A определяется равенством . По определению принимают при условии

Элементарными преобразованиями над строками матрицы A называют следующие операции:

1. перестановку строк;

2. умножение строки на ненулевое число;

3. прибавление к элементам строки соответствующих элементов другой строки, умноженных на ненулевое число.

Говорят, что матрица A эквивалентна матрице B (пишут: A~B), если матрица B получена из A при помощи элементарных преобразований строк.

9) Транспонирование матрицы,

возведение в степень- Матрица A^T , полученная из матрицы A заменой столбцов строками с теми же номерами, называется транспонированной к матрице A, то есть

Свойства операции транспонирования матриц:

1. 

2. 

3. 

4. 

Если для квадратной матрицы A выполняется соотношение то матрица A называется симметрической матрицей, а если – то кососимметрической. Возведение в степень матрицы осуществляется произведением матрицы на себя в количестве указанной порядком степени

10) Определители. Основная теорема об определителях

Каждой квадратной матрице A порядка n можно поставить в соответствие единственное число, которое вычисляется по определенному правилу. Это число называется определителем (или детерминантом) матрицы A и обозначается |A|, или det A, или Δ(A). Порядок матрицы A является и порядком ее определителя. Определители порядка 1-3 определяются, соответственно, равенствами:

,

, (3)

.

Основные методы вычисления определителей.

1. Для определителей 3-го порядка удобно использовать правило треугольников, которое схематично можно изобразить следующим образом:

Линии соединяют по три элемента, которые умножаются, а затем произведения складываются.

2. Определитель порядка n может быть вычислен разложением по любой строке (столбцу):

.

3. Метод эффективного понижения порядка определителя: используя свойства определителя, его преобразуют к такому виду, чтобы все элементы некоторой строки (столбца) определителя, кроме одного, были нулями, затем вычисляют определитель разложением по этой строке (столбцу).

4. Метод приведения к треугольному или диагональному виду с использованием свойств определителя, когда определитель равен произведению диагональных элементов.

Минором M_ij элемента a_ij , , называется определитель (n-1)-го порядка, который состоит из элементов матрицы, полученной из данной после «вычеркивания» i- той строки и j-того столбца.

Алгебраическим дополнением элемента a_ij называется число А_ij=(-1)^i+jM_ij. Определитель порядка n, где

, определяется как число.

Последнее равенство называют разложением определителя по элементам первой строки. Оно есть обобщение равенств (3).

11)Свойства определителей:

1) ;

2) ;

3) общий множитель элементов какой-либо строки (столбца) можно вынести за знак определителя;

4) перестановка двух строк (столбцов) меняет знак определителя на противоположный;

5) |A|=0, если выполняется одно из следующих условий:

• в определителе есть нулевая строка (нулевой столбец),

• в определителе есть пропорциональные строки (столбцы),

• в определителе есть строки (столбцы), являющиеся линейной комбинацией соответствующих элементов других строк (столбцов);

6) если к элементам одной строки (столбца) определителя прибавить линейную комбинацию соответствующих элементов других строк (столбцов), то значение определителя не изменится.

12) Обратная матрица

Квадратная матрица B, удовлетворяющая совместно с заданной матрицей A того же порядка равенствам называется обратной матрицей к A и обозначается A^–1. Обратная матрица A^–1 существует при условии, что A – невырожденная матрица, т. е.

Обратную матрицу можно вычислить следующими способами.

1-й способ. Используют формулу

(4)

где С – матрица, составленная из алгебраических дополнений соответствующих элементов матрицы A.

13) Алгоритм вычисления обратной матрицы

1. Вычисляем определитель матрицы A . Если det A ≠ 0 , то матрица A имеет обратную

2.  Составляем матрицу из алгебраических дополнений элементов матрицы A

3. Находим транспонированную матрицу для матрицы, составленной из алгебраических дополнений

4. Разделив матрицу ˜AT на определитель, получаем искомую обратную матрицу

5. Проверяем, что A · A⁻¹ = E , и записываем ответ

Аналогично вычисляется обратная матрица для невырожденной матрицы любого порядка

14) Ранг матрицы

Рангом матрицы A размера называется максимальный порядок отличных от нуля ее миноров. При этом любой ненулевой минор порядка называется базисным минором матрицы A.

Основные методы нахождения ранга матрицы A.

Метод окаймляющих миноров

Если в матрице A найден ненулевой минор M_k порядка k, а все окаймляющие его миноры )-го порядка равны нулю, то ранг матрицы равен k ( ).

Метод элементарных преобразований

Используя элементарные преобразования строк, матрицу приводят к трапециевидной или треугольной форме, далее ранг находят по определению.

Как частный случай последнего метода, может быть рассмотрен метод нулей и единиц: элементарными преобразованиями строк матрицу приводят к эквивалентной, состоящей или из нулевых строк и столбцов, или из строк и столбцов, в которых содержится ровно одна единица, а остальные элементы – нулевые. Количество единиц в такой матрице равно ее рангу.

15) Системы линейных уравнений с n неизвестными

Система линейных алгебраических уравнений (или линейная система) имеет вид:

где a_ij и b_j –заданные числа.

Систему (17) можно записать в матричной форме

(8)

где А – матрица системы, состоящая из коэффициентов;

B – матрица-столбец свободных членов;

X – матрица-столбец неизвестных. е. , , .

Решением системы (7) называется совокупность n чисел , которые после подстановки в уравнения системы вместо соответствующих неизвестных обращают каждое уравнение системы в верное числовое тождество.

Система (7) называется совместной, если у нее существует хотя бы одно решение, в противном случае она называется несовместной. Совместная система (7) называется определенной, если она имеет одно решение и неопределенной, если более одного решения. Две системы называются эквивалентными (равносильными), если множества их решений совпадают.

Определителем системы (9) называется определитель матрицы этой системы (состоящий из коэффициентов: , Если то система называется невырожденной; если - вырожденной.

Методы решения невырожденных систем используются для решения линейных систем (9), состоящих из n уравнений с n неизвестными из которых .

16) Метод обратной матрицы состоит в решении матричного уравнения

где А – матрица системы, состоящая из коэффициентов;

B – матрица-столбец свободных членов;

X – матрица-столбец неизвестных. е. , , по формуле

17) Метод Крамера: для нахождения неизвестных необходимо использовать формулы

(11)

где – определитель, получаемый из определителя системы , , . заменой i-го столбца столбцом свободных членов.

Формулы (11) называются формулами Крамера.

Решение произвольных линейных систем

18) Метод Гаусса

используется в общем случае для систем вида (7)

(вырожденных и невырожденных). С помощью элементарных преобразований над строками расширенную матрицу системы (7) приводят к виду:

Соответствующая ей система, равносильная (7), примет вид:

(12)

Если хотя бы одно из чисел b_{r + 1}, … b_m отлично от нуля, то система (11), а значит, и исходная система (7) несовместны.

Если b_{r + 1} = … = b_m = 0, то система (11) позволяет получить явное выражение для базисных неизвестных x₁, …, x_r через свободные неизвестные x_{r + 1}, …, x_n. Получаем бесконечное множество решений.

Если r = n, то свободные неизвестные отсутствуют, а значит, системы (11) и (7) имеют единственное решение. На практике обычно обходятся приведением матрицы системы (7) к треугольной или трапециевидной форме, после чего значения базисных переменных ищутся в обратном порядке.

19)Однородные системы уравнений

Однородной системой m линейных алгебраических уравнений для n неизвестных называется система уравнений

вида  (1) или в матричном виде  (2)

где А -заданная матрица из коэффициентов размером mxn,

- столбец n неизвестных,  - нулевой столбец высоты m.

Однородная система всегда совместна (расширенная матрица совпадает с А) и имеет очевидные решения: х₁ = х₂ = … = х_n = 0.

Это решение называется нулевым или тривиальным. Всякое другое решение, если оно есть, называется нетривиальным.

20) Расстояние между точками, площадь треугольника

Расстояние между двумя точками на плоскости рассчитывается по следующей формуле:

где x1 и y1 координаты первой точки, а x2 и y2 координаты второй точки.

Расстояние между двумя точками в трехмерном пространстве расчитывается по следующей формуле:

где x1, y1 и z1 координаты первой точки, а x2, y2 и z2 координаты второй точки.

Площадь треугольника:

- S треуг

21)Деление отрезка в данном отношении

Координаты точки C, делящей отрезок AB в отношении , можно найти по формулам:

22) Полярные координаты

Полярная система координат — двумерная система координат, в которой каждая точка на плоскости определяется двумя числами — полярным углом и полярным радиусом. Полярная система координат особенно полезна в случаях, когда отношения между точками проще изобразить в виде радиусов и углов; в более распространённой, декартовой или прямоугольной системе координат, такие отношения можно установить только путём применения тригонометрических уравнений.

Пару полярных координат r и φ можно перевести в Декартовы координаты x и y путём применения тригонометрических функций синуса и косинуса:

x = rcos φ,

y = rsin φ,

в то время как две декартовы координаты x и y могут быть переведены в полярную координату r:

r2 = y2 + x2 (по теореме Пифагора).

23) Уравнение прямой с угловым коэффициентом

24) Уравнение прямой проходящей, через данную точку в заданном направлении..

Уравнение прямой, проходящей через две данные точки

25) Угол между прямыми. Условие параллельности и перпендикулярности прямых.

26) Общее уравнение прямой. Уравнение прямой в отрезках на осях.

Общее уравнение прямой

Уравнение прямой в отрезках на осях

27) Нормальное уравнение прямой. Расстояние от точки до прямой.

Нормальное уравнение прямой

Расстояние от точки до прямой

28) Окружность

29) Эллипс

Эксцентриситет величина, характеризующая меру сжатия эллипса, Директрисы

30) Гипербола

Гипербола – ГМТ М на плоскости, модуль расстояний от которых до двух фиксированных точек и есть постоянная величина 2а, меньшая расстояния между фокусами 2с:

Эксцентриситет для гиперболы

Директрисы

Прямая называется асимптотой гиперболы, если расстояние от точки М(х,у) гиперболы до этой прямой стремится к 0 при х → ± бесконечность.

Асимптоты гиперболы

Отношение расстояния r от точки гиперболы до фокуса к расстоянию d до ближайшей к этому фокусу директрисы равно эксцентриситету:

31) Директрисы эллипса и гиперболы.

Эллипс

Эксцентриситет величина, характеризующая меру сжатия эллипса,

Директрисы

Отношение расстояния r от точки эллипса до фокуса к расстоянию d до ближайшей к этому фокусу директрисы равно эксцентриситету:

Гипербола

Эксцентриситет для гиперболы

Директрисы

Прямая называется асимптотой гиперболы, если расстояние от точки М(х,у) гиперболы до этой прямой стремится к 0 при х → ± бесконечность.

Асимптоты гиперболы

Отношение расстояния r от точки гиперболы до фокуса к расстоянию d до ближайшей к этому фокусу директрисы равно эксцентриситету:

32) Парабола

Парабола – множество точек плоскости, равноудалённых от фиксированной точки плоскости (фокуса) и фиксированной прямой плоскости (директрисы).

p-параметр параболы

33) Общее уравнение плоскости

Плоскостью в пространстве называется множество всех точек М(х;у;z), координаты которых удовлетворяют уравнению

, (6.1)

где А, В, С, D – заданные числа, причем А, В и С не равны нулю одновременно. Уравнение (6.1) называется общим уравнением плоскости.

Геометрический смысл коэффициентов А, В и С состоит в том, что вектор перпендикулярен плоскости, его называют нормальным вектором плоскости. Этот факт устанавливается так же, как и в случае общего уравнения прямой на плоскости.

Из уравнения (6.1) следует, что если D = 0, то плоскость проходит через начало координат, так как координаты начала координат О(0;0;0) удовлетворяют уравнению .

Пусть С=0. Тогда уравнение

(6.2)

определяет плоскость, проходящую через прямую с этим уравнением в плоскости хОу и перпендикулярную этой плоскости. Какова бы ни была точка М(х;у;z), принадлежащая плоскости, ее координаты х, у удовлетворяют уравнению (6.2) независимо от того, какую она имеет третью координату z.

Если В = 0, С = 0, то уравнение

(А 0) (6.3)

есть частный случай уравнения (6.2). Преобразовав его к виду , заметим, что ему удовлетворяют точки, имеющие координату и произвольные координаты y и z, т.е. это плоскость, параллельная плоскости yOz или, что то же, перпендикулярная оси Ох.