8.5.3. Геометрична прогресія

Геометрична прогресія – це така послідовність (b_п), кожний член якої, починаючи з другого, дорівнює добутку попереднього члену на стале число q, яке називається знаменником геометричної прогресії. Таким чином, геометрична прогресія є послідовністю, що задана рекурентно b_п+1=b_п+q, причому Для позначення геометричної прогресії використовують символ . Наприклад, послідовність 1,2,4,8,16,32,… є геометричною прогресією із знаменником q =2. Стала послідовність 2,2,2,.. також є геометричної прогресією, у якої b₁=2 і q =1.

Властивості геометричної прогресії

1) формула п-го члена b_п=b₁q^п-1;

2) формули суми п перших членів геометричної прогресії: , ;

3) характеристична властивість послідовність є геометричною прогресією тоді і лише тоді, коли кожен її член, крім першого, є середнім геометричним попереднього і наступного.



Приклади

Приклад 8.1. З міста А у місто В виїжджає велосипедист, а через три години з міста В виїжджає назустріч йому мотоцикліст, швидкість якого втричі більша від швидкості велосипедиста. Вони зустрічаються посередині між А і В. Якби мотоцикліст виїхав через дві години після велосипедиста, то зустріч відбулася б на 15 км ближче до А . Знайти віддаль від А до В.

 Нехай х - відстань між А та В; у - швидкість велосипедиста; тоді 3у - швидкість мотоцикліста. Використовуючи позначення, запишемо першу частину умови задачі

.

Друга частина умови запишеться у вигляді

Одержимо систему рівнянь:

З першого рівняння: Зх = х + 18у або х = 9у, з другого рівняння: Зх -90 = х + 30 + 12у або х = 60 + 6у . Прирівнюючи значення х, одержимо 9у = 60 + 6у, Зу = 60 або у = 20. Тоді х = 9у, х = 180. Отже, відстань між містами А та В дорівнює 180 км. 

Приклад 8.2. Від пристані відправився за течією річки пліт. Через 5 год 20 хв від цієї ж пристані у цьому ж напрямку рушив моторний човен, який через 20 км наздогнав пліт. Яка швидкість плоту, якщо власна швидкість моторного човна більша від швидкості плоту на 9 км/год.?

 Позначимо власну швидкість човна (швидкість човна в стоячій воді) через х. Тоді швидкість течії річки: =х-9, звідки х = +9. Моторний човен, рухаючись за течією, пройшов 20 км за час , а пліт – за .

Оскільки час, за який пліт проплив 20 км, на 5 год 20 хв =16/3 год, більший від часу, за який моторний човен проплив цю ж відстань, то . Нехай . Тоді . Розділивши рівняння на 4 і звівши до спільного знаменника, одержимо: . Коренями цього рівняння є: у₁ = 3 та у₂=-45/8 (другий корінь не задовольняє умову задачі). Отже, швидкість плоту, а також швидкість течії річки дорівнює 3 км/год. 

Приклад 8.3. По колу завдовжки 60 м рівномірно і в одному напрямку рухаються дві точки.. Одна з них робить повний оберт на 5 с швидше ніж інша. При цьому збіг точок відбувається через кожну хвилину. Знайти швидкість точок.

 Нехай перша точка робить повний оберт за х с, а друга - за у с, причому х< у і у-х = 5. Швидкість першої точки 60/х, а швидкість другої – 60/у. Оскільки точки збігаються через кожну хвилину, то перша точка робить за одну хвилину повний оберт і ще стільки, скільки встигне пройти за 1 хв друга точка, тобто (60/у)60=3600/у. Тоді 60+3600/у=60/х 60, причому у=х+5. Складаємо рівняння. Отже, х = 15, у = 20 і швидкість першої точки 4 м/с, швидкість другої – 3 м/с .

Приклад 8.4. Дві бригади, працюючи одночасно, обробили ділянку землі за 12 год. За який час могла б обробити цю ділянку кожна з бригад окремо, якщо швидкості виконання робіт співвідносяться як 3:2?

 Нехай х - час, за який перша бригада обробить дану ділянку землі сама; у - час, за який друга бригада обробить цю ж ділянку сама; 1 - вся робота; 1/х – продуктивність праці першої бригади (швидкість виконання роботи); 1/у – продуктивність праці другої бригади; 1/х+1/у – продуктивність праці обох бригад. Враховуючи позначення, запишемо умову задачі у вигляді системи двох рівнянь:

З другого рівняння знаходимо у=3х/2. Підставимо одержаний вираз у перше рівняння, звідки х = 20. Тоді у = 30. Отже, перша бригада обробить ділянку землі за 20 год., а друга – за 30 год. 

Приклад 8.5. Одна бригада може зорати все поле за 12 днів. Іншій бригаді для виконання цієї самої роботи треба 75% від цього часу. Після того, як протягом 5 днів працювала тільки перша бригада, до неї приєдналась друга, і обидві разом закінчили роботу. Скільки днів працювали бригади разом?

 Нехай х - кількість днів, протягом яких бригади працювали разом. Приймемо за 1 всю роботу, тоді – продуктивність праці першої бригади. Оскільки усю роботу друга бригада виконує за 75% від того часу, за який її виконує перша бригада, тобто за днів, тоді – продуктивність праці другої бригади. Враховуючи позначення, запишемо умову задачі за допомогою рівняння . Отже, бригади працювали разом 3 дні. 

Приклад 8.6. Насос може викачати з басейну води за 7,5 хв. Пропрацювавши 0,15 год., насос зупинився. Знайти місткість басейну, якщо після зупинки насоса в басейні залишилося 25 м³ води.

 Нехай х - об'єм басейну. Дізнаємось, скільки літрів води (цю кількість води позначимо через у) викачав насос за 0,15 год. = хв = 9 хв. Для цього складемо пропорцію:

х – 7,5 хв.

у – 9 хв.,

з якої .

Отже, залишилося викачати води, що становить 25м³. Тобто , тобто місткість басейну 125 м³. 

Приклад 8.7. Протягом року завод двічі збільшував випуск продукції на одне і те ж число відсотків. Знайти це число, якщо відомо, що на початку року завод випускав щомісячно 600 виробів, а в кінці – 726 виробів.

 Нехай х – число процентів, на які завод збільшував виробництво продукції. Це становитиме виробів. Отже, стали випускати 600+6х виробів. Після другого збільшення виробітку на х% , що становило виробів, завод почав виготовляти виробів. Це за умовою задачі дорівнює 726. Отримали рівняння для знаходження х: . Помножимо обидві частини рівняння на 100 і зведемо подібні доданки. Отримаємо , значення х= –210 не задовольняє умову задачі. Тому завод проводив збільшенння випуску продукції на 10% .

Приклад 8.8. Кусок сплаву міді з оловом загальною масою 12 кг містить 45% міді. Скільки чистого олова треба додати до цього куска сплаву, щоб одержаний новий сплав містив 40% міді?

 Знайдемо спочатку, скільки кілограмів міді міститься в сплаві. Для цього складемо пропорцію: 12 кг – 100%, х_М кг –45%, звідки х_М =5,4. Позначимо через х масу олова, яку треба додати до сплаву, щоб новий сплав містив 40% міді. Маса нового сплаву буде 12+ х кг. Складемо пропорцію: 12 + х – 100%, 5,4 – 40%, звідки (12+х)40=100∙5,4, звідки х=1,5 (кг). Отже, треба додати 1,5 кг чистого олова до куска сплаву. 

Приклад 8.9. Сума цифр двозначного числа дорівнює 12. Якщо до шуканого числа додати 36, то отримаємо число, записане тими самими цифрами, але у зворотному порядку. Знайти задане число.

 Нехай х – кількість одиниць, а у – кількість десятків. Тоді шукане число запишеться у вигляді 10у+х. Запишемо умову задачі, використовуючи введені позначення. Отримаємо систему рівнянь: .

Звідки у = 4. Тоді х = 8. Отже, шукане число 10у + х = 48. 

Приклад 8.10. Школяр наклеює марки в альбом. Якщо він наклеїть по 20 марок на один аркуш, то йому не вистачить альбому, а якщо по 23 марки, то принаймні один аркуш залишиться порожнім. Якщо школяреві подарувати такий самий альбом, де на кожному аркуші наклеєно по 21 марці, то у нього буде 500 марок. Скільки аркушів в альбомі?

 Нехай х - кількість аркушів у альбомі, у – кількість марок у школяра. Система рівнянь і нерівностей задачі може бути записана так. Знайдемо у з рівняння і підставимо його вираз у нерівності. Матимемо або

Оскільки х - ціле, то з першої нерівності знаходимо: х < 12 , а з другої нерівності: х>12. Для того, щоб нерівності виконувались одночасно, потрібно, щоб х = 12 . Отже, в альбомі - 12 аркушів. 

Приклад 8.11. Спринтер пробіг за першу хвилину 400 м, а за кожну наступну на 5 м менше, ніж за попередню. Який шлях він подолав протягом 1 год.?

 Відстані за кожну хвилину утворюють АП а₁=400 і d=-5. Шлях за 1год.=60хв. Є сумою 60 перших членів прогресії, тобто . 

Приклад 8.12. При діленні 13-го члена АП на її 3-й член одержується число 3, а при діленні 18-го члена АП на її 7-й член в частці одержується 2 і в остачі 8. Знайти 20-й член цієї прогресії.

 За умовою , . Розпишемо за формулами п-го члена і складемо систему рівнянь . 

	Питання для самоперевірки

1. Які основні види задач на складання рівнянь ви знаєте?

2. Запишіть способи розв’язування задач.

3. Дайте означення послідовності

4. За яких умов послідовність є зростаючою, спадною?

5. Вкажіть способи задання послідовностей.

6. Що називається арифметичною прогресією? Наведіть приклади і запишіть властивості.

7. Що називається геометричною прогресією? Наведіть приклади і запишіть властивості.



Вправи

1. За виготовлення й встановлення нижнього залізобетонного кільця колодязя заплатили 26 грн., а за кожне наступне кільце платили на 2 грн. менше, ніж за попереднє. Крім того, по закінченню роботи було сплачено ще 40 грн. Середня вартість виготовлення й встановлення одного кільця виявилася рівною грн. Скільки кілець було встановлено?

2. Сума першого й п’ятого членів арифметичної прогресії дорівнює , а добуток третього і четвертого її членів дорівнює . Знайти суму 17 перших членів цієї прогресії.

3. У змаганні зі стрільби за кожен промах у серії з 25 пострілів стрілок одержував штрафні бали: за перший промах – один штрафний бал, а за кожен наступний – на півбали більше, ніж за попередній. Скільки разів потрапив у ціль стрілок, що одержав 7 штрафних балів?

4. Знайти три перших члени арифметичної прогресії, якщо відомо, що й

5. Знайти число членів арифметичної прогресії, у якої сума всіх членів дорівнює 112, добуток другого члена на різницю прогресії дорівнює 30, а сума третього й п’ятого членів дорівнює 32. Написати три перших члени цієї прогресії.

6. Турист, піднімаючись у гору, у першу годину досяг висоти 800 м, а кожної наступної години піднімався на висоту, на 25 м меншу, ніж за попередню. За скільки годин він досягне висоти в 5700 м?

7. З даних чотирьох чисел перші три співвідносяться між собою, як , а четверте становить 15% другого числа. Знайти ці числа, якщо відомо, що друге число на 8 більше суми інших.

8. Скільки килограмів води потрібно випарити з 0,5 т целюлозної маси, що містить 85% води, щоб одержати масу зі змістом 75% води?

9. У двох бідонах перебуває 70 л молока. Якщо з першого бідона перелити в другий 12,5% молока, що перебуває в першому бідоні, то в обох бідонах буде порівну. Скільки киллограммов молока в кожному би доні?

10. Дві бригади, працюючи одночасно, обробили ділянку землі за 12 год. За який час могла б обробити цю ділянку кожна із бригад окремо, якщо швидкості виконання роботи бригад співвідносяться як 3:2?

11. Сума цифр двозначного числа дорівнює 12. Якщо до шуканого числа додати 36, то вийде число, записане тими ж цифрами, але у зворотному порядку. Знайти число.

12. Тракторист зорав три ділянки землі. Площа першої дорівнює площі всіх трьох ділянок, а площа другої співвідноситься до площі третьої як . Скільки гектарів було у всіх трьох ділянках, якщо в третій було на 16 га менше, ніж у першій?

13. Ціну товару спочатку знизили на 20%, потім нову ціну знизили ще на 15% й, нарешті, після перерахування зробили зниження ще на 10%. На скільки відсотків усього знизили початкову ціну товару?

14. Морська вода містить 5% солі по масі. Скільки прісної води потрібно додати до 30 кг морської води, щоб концентрація солі становила 1,5%?

15. У бібліотеці є книги на англійській, французькій і німецькій мовах. Англійські книги становлять 36% всіх книг на іноземних мовах, французькі – 75% англійських, а інші 185 книг – німецькі. Скільки книг на іноземних мовах у бібліотеці?

77