8.4. Задачі з цілочисловими невідомими

Цілочисловість шуканого невідомого є додатковою умовою, яка дає змогу однозначно вибрати його з деякої множини значень, що задовольняють решту умов, тобто крім умов задачі на змінні накладаються умови цілочисловості (див приклади 8.9, 8.10).

8.5. Задачі на арифметичну та геометричну прогресії

8.5.1. Означення та способи задання послідовності

Нехай кожному натуральному числу поставлено у відповідність деяке дійсне число: числу 1 відповідає число а₁, числу 2 – число а₂, числу 3 – число а₃, …, числу п – число а_п і т.д. Тоді кажуть, що задана числова послідовність, і пишуть: а₁, а₂, …, а_п, … або по-іншому (а_п). Числа а₁, а₂, …, а_п, … називають членами послідовності.

Наприклад, 1², 2², 3², …, п², … – ця послідовність побудована таким чином: кожному натуральному числу відповідає його квадрат, тобто а_п= п².

Для довільного нескінченого періодичного дробу можна побудувати послідовність його десяткових наближень по недостачі чи надлишку. Наприклад, для числа е=2,71828... послідовність десяткових наближень за недостачею матиме вигляд 2; 2,7; 2,71; 2,718; 2,7182; 2,71828;…

Способи задання послідовностей

1. Аналітичний, коли послідовність задається формулою п-го члена. Наприклад, формулою задається п-ть .

2. Рекурентний, при якому довільний член послідовності, починаючи з деякого, виражається через попередні. У цьому способі вказують перший член (або декілька перших членів) послідовності та формулу, що дозволяє визначити будь-який інший член. Наприклад, якщо дано а₁=1, а₂=1, а_п+2= а_п+а_п+1. і потрібно знайти перші сім членів послідовності, перші два вже є, інші знаходять за формулою 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13.

3. Словесно-описовий – задання послідовності описуванням..

Послідовність (а_п) називається зростаючою, якщо кожний її член менший за наступний, тобто якщо а_п<а_п+1 для довільного п. Послідовність (а_п) називається спадною, якщо кожний її член більший за наступний, тобто якщо а_п>а_п+1 для довільного п.

Наприклад:

1)1,4,9,16,25,… і 2,5,8,11,14,…– зростаючі;

2) -1,-2,-2,-4,… і 1,1/2,1/3,1/4,… – спадні;

3) -1,2,-3,4,-5,6,... – не є ні спадною, ні зростаючою; 4) 3,3,3,… – стала або стаціонарна послідовність.

8.5.2. Арифметична прогресія

Арифметична прогресія – це така послідовність (а_п), кожний член якої, починаючи з другого, дорівнює сумі попереднього члену та сталого числа d, яке називається різницею арифметичної прогресії. Таким чином, арифметична прогресія є послідовністю, що задана рекурентною рівністю а_п+1=а_п+d, причому якщо d>0, то арифметична прогресія зростає, якщо ж d<0 – спадає. Стала послідовність (а_п) є арифметичною, у якої а₁=а і d=0. Іноді для позначення арифметичної прогресії використовують символ .

Наприклад, послідовність 3,5,7,9,11,13,… є арифметичною прогресією із різницею 2.

Властивості арифметичної прогресії

1) формула п-го члена а_п=а₁+d(п-1);

2) формули суми п перших членів АП: і ;

3) характеристична властивість послідовність є арифметичною прогресією тоді і лише тоді, коли кожен її член, крім першого, дорівнює середньому арифметичному попереднього і наступного членів.

Задачі на арифметичну прогресію розв’язуються за допомогою означення та властивостей арифметичної прогресії (див. приклади 8.11, 8.12)