Ч ЕРКАСЬКИЙ ДЕРЖАВНИЙ БІЗНЕС-КОЛЕДЖ

Підготовчий курс з математики

Тема 8. Задачі на складання рівнянь

	довідковий матеріал

Для розв'язування таких задач потрібно ввести невідомі та записати умову задачі за допомогою відповідних рівнянь. При цьому велике значення має вдалий вибір невідомих і ефективність методу розв'язування. Можна виділити такі основні типи задач на складання рівнянь: задачі на рух; задачі на роботу та продуктивність праці; задачі на проценти; задачі із цілими невідомими.

8.1. Задачі на рух

Основними величинами цього типу задач є відстань S, швидкість v; час t; прискорення а (якщо рух рівноприскорений або рівносповільнений). При рівномірному русі пройдений шлях обчислюється за формулою: S=vt (див. приклади 8.1, 8.2).

Якщо тіло рухається за течією річки, то його швидкість дорівнює сумі швидкості тіла в стоячій воді (власній швидкості тіла) і швидкості течії. Якщо в задачі йдеться про рух плотів, то вважається, що пліт рухається зі швидкістю течії річки.

У задачах на рівномірний рух зустрічаються умови, в яких або два тіла рухаються назустріч одне одному, або одне тіло наздоганяє інше. Якщо при цьому початкова відcтань між тілами дорівнює S, а швидкості тіл – v₁ і v₂, то:

1) при русі тіл назустріч час, за який вони зустрінуться, дорівнює ;

2) при русі тіл в один бік (v₁>v₂) час, за який перше тіло наздожене друге, дорівнює .

Розглянемо задачу на рівноприскорений рух. При розв'язуванні цих задач використовуються формули, які пов'язують час t, пройдений шлях S, початкову швидкість v₀; прискорення а та швидкість v: , де а>0, якщо рух рівноприскорений, і а<0, якщо рух рівносповільнений (див. приклад 8.3).

8.2. Задачі на роботу та продуктивність праці

Основними величинами цього типу задач ( див. приклади 8.4, 8.5) є: t — час, за який виконується робота; N - продуктивність праці (робота, виконана за одиницю часу); А - сама робота, виконана за час t. Рівняння, яке пов'язує ці величини, має вигляд: A = Nt. До задач на роботу належать також задачі на перекачування рідини насосами. За продуктивність праці в цьому випадку можна взяти об'єм води, яку перекачують (див. приклад 8.6).

8.3. Задачі на відсотки

Основні задачі на проценти розглянуті в темі 1 (див. приклад 8.7).

Нехай величина А, яка залежить від часу t, у початковий момент t₀=0 має значення A₀, а в момент t₁ – А₁. Абсолютним приростом величини А за час t₁ називається різниця А₁-А_о, відносним приростом – відношення і процентним приростом – величина . Позначимо процентний приріст величини А через р%. Тоді формула пов'язує величини А₀, А₁ і р%.

Задачі на концентрацію і процентний вміст використовують такі поняття. Нехай дано три різні речовини А,В,С з масами М_А, М_В, М_С. Маса суміші, яка складена з цих речовин, дорівнює М_А+М_В+М_С. Масовою концентрацією речовини А в суміші називається величина С_А , яка обчислюється за формулою і, відповідно, , , причому С_А+С_В+С_С=1. Процентним вмістом речовин А, В, С в даній суміші називаються величини: , , . Об'ємна концентрація речовини в суміші обчислюється за аналогічними формулами (див. приклад 8.8).