2. Найбільше та найменше значення функції на відрізку.

Функція, неперервна на відрізку [a,b] досягає на цьому відрізку свого найбільшого та найменшого значень. Ці значення вона може досягнути на одному з кінців відрізку або всередині відрізку.

Тому для знаходження найбільшого та найменшого значень функції на [a,b] треба:

1. знайти всі критичні точки першого роду;

2. визначити значення функції на кінцях відрізка, тобто обчислити f(а) та f(b), та в тих критичних точках, що належать відрізку;

3. із одержаних значень функції обрати найбільше та найменше значення на відрізку.

Приклад. Знайти найбільше та найменше значення функції при .

Розв’язання. Знаходимо похідну заданої функції . Розв’язуючи рівняння , знаходимо критичні точки функції - обидва корені належать відрізку . Обчислимо значення функції на кінцях відрізку та в критичних точках: .

Відповідь: .

3. Опуклість та угнутість графіка функції, точки перегину.

Означення. Крива y= f(x) називається опуклою на інтервалі (a; b), якщо усі точки графіка функції лежать нижче її дотичних на цьому інтервалі.

Крива y= f(x) називається угнутою на інтервалі (a; b), якщо усі точки графіка функції лежать вище її дотичних на цьому інтервалі.

Означення. Якщо в досить малому околі точки дотику крива зліва цієї точки лежить по один бік дотичної, а справа – з іншого боку дотичної, то точку дотику називають точкою перегину кривої.

Теорема. Якщо в усіх точках інтервала (a; b) f ´´(x)› 0, то крива y= f(x) є угнутою на цьому інтервалі; якщо f ´´(х)‹ 0 на деякому інтервалі, то крива функції опукла на цьому інтервалі.

Правило. Точка буде точкою перегину кривої y= f(x), якщо:

1. або не існує,

2. знаки зліва та справа від точки різні.

Умову 1 цього правила називають необхідною умовою, а умову 2 – достатньою умовою існування точок перегину графіка функції.

Якщо не змінює свій знак при переході аргументу через точку , то перегину у цій точці не буде.

4.

Означення. -Асимптотою кривої називається пряма, відстань до якої від точки , що лежить на кривій ,прямує до нуля при необмеженому віддалені цієї точки по кривій від початку координат.

Розрізняють горизонтальні, вертикальні і похилі асимптоти.

Крива має горизонтальну асимптоту , якщо

і .

Крива має вертикальну асимптоту , якщо

.

Очевидно, що вертикальні асимптоти функція може мати тільки в точках розриву або на границях області визначення.

Похилою асимптотою кривої називається пряма , де

(варто окремо розглядати випадки і )

Якщо , то одержимо рівняння горизонтальної асимптоти.

Задача:

Знайти асимптоти графіка функції: а) ; б)

Розв’язання:

а) Для визначення вертикальних асимптот знайдемо значення , при яких функція не існує. При повинна бути вертикальною асимптотою даної кривої. Обчислимо:

;

тобто пряма є вертикальною асимптотою графіка функції.

Рівняння похилої асимптоти будемо шукати у виді

,

Отже , рівняння похилої асимптоти : . горизонтальних асимптот немає, тому що .

б) Вертикальних асимптот немає, тому що функція визначена на всій числовій прямій.

;

знаходити сенсу немає

маємо ліву асимптоту .

Зауваження: якщо коефіцієнти і існують і кінцеві тільки при , то асимптота називається правою. Якщо і кінцеві тільки при , то асимптота називається лівою.

Загальна схема дослідження функції і побудови її графіка.

Графік заданої функції можна будувати по довільних точках. Для цього обирають довільним чином деяку кількість точок. Чим більше кількість обраних точок, тим точніше буде зображено графік функції. Можна спростити цю задачу шляхом обрання не довільних точок, а характерних саме для заданої функції.

Для науково обґрунтованого дослідження функції та побудови її графіка доцільно дотримуватись такої схеми:

Перший етап (використання виду заданої функції).

1. Знаходимо область визначення функції, точки розриву, інтервали неперервності.

2. Досліджуємо функцію на парність чи непарність, періодичність.

3. Знаходимо асимптоти графіка функції.

4. Знаходимо точки перетину графіка функції з осями координат.

Другий етап (використання похідної першого порядку).

5. Знаходимо критичні точки першого роду, інтервали зростання та спадання функції, точки екстремумів та екстремальні значення функції.

Третій етап ( використання похідної другого порядку).

6. Знаходимо критичні точки другого роду, інтервали опуклості та угнутості графіка функції, точки перегину та значення функції в точках перегину.

Четвертий етап.

7. Згідно з результатами дослідження будуємо у системі координат отримані точки і будуємо графік функції з урахуванням інтервалів неперервності, зростання та спадання, опуклості та угнутості, асимптот графіка.

Приклад

Дослідити функцію та побудувати її графік.

Розв’язування.

Задана функція має розрив в точці х=1, тому область неперервності цієї функції.

Задана функція не буде парною або непарною.

Знайдемо асимптоти графіка функції. Однобічні границі функції в точці розриву будуть:

Отже, пряма х = 1 є вертикальна асимптота. Перевіримо, чи має ця функція похилі асимптоти:

Отже, похилих асимптот не має. Шукаємо горизонтальні асимптоти:

Тому пряма буде горизонтальною асимптотою.

Тепер знайдемо точки перетину графіка функції з осями координат: при х = 0 маємо у = -1 , тобто точку

При у = 0 маємо х = ½ , тобто точку

Переходимо до другого етапу дослідження.

Похідна функції буде:

Похідна не існує в точці х = 1 і дорівнює нулю при х = 0. Отже, критичною точкою першого роду буде лише точка х = 0 тому, що х = 1 не належить області визначення функції.

Складемо таблицю з урахуванням точки розриву та критичної точки.

	-	0	+	не існує	-
				не існує

Отже, на інтервалі функція зростає, а в інтервалах та - спадає.

Екстремальним значення функції буде

Знайдемо інтервали опуклості та угнутості графіка, точукук перегину за відповідною схемою: друга похідна має вигляд:

Звідси знаходимо критичні точки другого роду:

х =- ½ та х = 1, але точка х = 1 не належить області визначення функції.

Складаємо таблицю з урахуванням точки розриву та х = - ½

		х =- ½		х = 1
	-	0	+	не існує	+
		точка перегину		не існує

Отже, на інтервалі графік функції опуклий, а в інтервалах і графік угнутий.

Значення функції в точці перегину буде

За одержаними результатами будуємо графік заданої функції.

Видача завдання для самостійної роботи студентів.

1. 1с.219-229.

2. Знайти асимптоти кривої