Лекція заняття № 36

Тема: Застосування визначених інтегралів. Методи наближеного обчислення.

Мета заняття: Поглиблення знань, вмінь студентів застосовувати визначений інтеграл до обчислення площ та шляху. Ознайомлення студентів з методами наближеного обчислення визначених інтегралів.

Методи: словесні та практичні методи передачі інформації.

Література:

1. Барковський В.В., Барковський Н.В. Математика для

економістів Вища математика, ч.1,2,

К: Національна академія управління, 1997, 397с.

2. Богомолов Н.В. Практические занятия по математике. – М.:

Высшая школа, 1990. – 496с.

3. Гетманцев В.Д. Лінійна алгебра і лінійне програмування, К.:

Либідь, 2001 – 256с.

4. Зайцев И.Л. Элементы высшей математики для техникумов, М.: Наука, 1974 – 416с.

5. Руданський Ю.К., Костробій П.П. Лінійна алгебра та

аналітична геометрія, Л.: Бескид Бит, 2002 – 262с.

План лекції:

1. Обчислення площі криволінійної трапеції.

2. Обчислення шляху.

3. Методи наближеного обчислення визначеного інтегралу.

1.

Обчислення площі криволінійної трапеції.

Нехай на відрізку задано неперервну невід’ємну функцію . Фігура, обмежена графіком цієї функції, відрізком осі та прямими , називається криволінійною трапецією.

Обчислення площі фігури за допомогою інтеграла

Приклад. Обчислити площу фігури, обмеженої лініями у = х² і у = .

Розв’язання: знайдемо границі інтегрування, тобто абсциси точок перетину графіків функцій у = х² і у = . Для цього розв’яжемо рівняння х² = ; х⁴ = х; х(х³ – 1) = 0; х = 0 або х = 1.

Площа фігури: S =

Обчислення об’єму тіла обертання.

Якщо тіло міститься між двома перпендикулярними до осі Ох площинами, що проходять через точки x = a i x = b, то , де S(x) – площа перерізу тіла площиною, яка проходить через точку х і перпендикулярна до осі Ох.

Якщо тіло отримане в результаті обертання навколо осі криволінійної трапеції, обмеженої графіком неперервної та невід’ємної функції y = f(x) на відрізку і прямими x = a та x = b утворюється тіло, об’єм якого знаходиться за формулою .

2. Інтеграл у фізиці та техніці

Величини	Знаходження інтеграла
S - переміщення v - швидкість
A - робота F - сила
A - робота N - потужність
m - маса тонкого стержня ρ - лінійна густина
q - електричний заряд I - сила струму
Q - кількість теплоти c - теплоємність

Приклад. Тіло рухається прямолінійно зі швидкістю v = 0,1x³ (v – м/с). Знайти шлях, пройдений тілом за 10 с.

Розв’язання: використовуючи формулу, знаходимо:

S = .

Приклад. Яку необхідно виконати роботу, щоб розтягнути пружину на 3 см, якщо сила в 10 Н розтягує пружину на 1 см?

Розв’язання: за законом Гука, сила F пропорційна розтягу пружини, тобто F = кх, де х – величина розтягу. З умови задачі можна знайти к.

При х = 1 см = 0,01м сила F = 10 Н, тоді к = F/х.

К = 10/0,01 = 1000.

Отже, F = кх = 1000х. Звідси робота буде

А =

3. Для деяких неперервних підінтегральних виразів функції y=f(x) первісну не можна виразити елементарними функціями, У цих випадках обчислення визначеного інтегралу за формулою Ньютона-Лейбніца неможливе. У практичної діяльності часто досить знати лише наближене значення визначеного інтегралу і знаходити це наближене значення такими методами, які дозволяють використовувати сучасну обчислювальну техніку.

Найбільш часто використовувають три метода: метод прямокутників, метод трапецій та метод парабол.

Визначений інтеграл можна обчислити за формулою

Дану формулу називають формулою прямокутників.

За формулою трапеції визначений інтеграл обчислюють таким чином

Визначений інтеграл можна також обчислювати за формулою Симпсона.

Видача завдання для самостійної роботи студентів.

1. 1с. 295-297, 299-302.

2. Знайти площу фігури, обмеженої лініями: і .