3.3 Критические частоты вращения ротора (валопровода).

Важнейшими характеристиками ротора являются его критические частоты вращения. Критические частоты вращения ротора обнаружи-ваются при снятии амплитудно-частотной характеристики; при этом неуравновешенный ротор приводится во вращение с переменной частотой и измеряется амплитуда поперечных колебаний в каком-либо сечении. Если частота вращения совпадает с критической, то амплитуды изгибных колебаний достигают максимального значения.

При критической частоте вращения ротора происходит резонанс, т.е. совпадение частоты возмущающей силы с частотой собственных изгибных колебаний ротора, при этом каждой собственной частоте соответствует главная форма колебаний.

Критические частоты вращения совпадают с собственными часто-тами колебаний ротора. Линия статического прогиба при этом перестаёт быть линией устойчивого равновесия.

3.3.1 Колебания вертикального вала с одним диском.

Рассмотрим действие центробежной силы на вертикальный (для иск-лючения влияния статического прогиба) вал с одним диском. Центр тяжес-ти S неподвижного вала с диском не совпадает с геометрической осью и расположен от неё на расстоянии е (см. рис. 3.3, а).

Рис. 3.3 Положение центра тяжести диска при различных скоростях

врашения

Вращение вала происходит вокруг вертикальной оси АO'В (рис. 3.3, б), где показаны траектории точек О, S и D вокруг центра вращения O'.

Появляющаяся при вращении ротора центробежная сила С вызывает динамический прогиб вала у, величина которого зависит от силы С , раз-меров и плотности материала вала, а также от расположения диска относи-тельно опор. Центробежная сила, увеличивающаяся с повышением угло-вой частоты вращения ротора, является периодической силой, приложен-ной к упругой балке (валу) и вызывающей гармонические колебания сис-темы. Она уравновешивается упругой силой Р, которая пропорциональна прогибу у. Вращение вала происходит вокруг вертикальной оси АО^/В, где показаны траектории точек О, S и D вокруг центра вращения (точки О^/).

Уравнение равновесия упругой системы имеет вид

С = Р. (3.1)

Центробежная сила определяется как

, (3.2)

где m – масса диска, кг; ω – угловая скорость вращения, рад/с; у и е , м.

Сила упругого сопротивления определяется как

, (3.3)

где k – сила упругости, равная силе, вызывающей погиб вала в 1см, но противоположно ей направленная.

Подставляя выражения для величин С и Р (3.2 и 3.3) в (3.1) получим

,

откуда . (3.4)

Как следует из выражения (3.4), с увеличением угловой частоты вра-щения ω, (которая представляет собой частоту возмущающих сил ротора) прогиб у (амплитуда вынужденных колебаний вала) возрастает; при неко-тором значении ω величина у → ∞, и вал должен сломаться, т.е. это значе-ние ω является резонансной частотой вращения вала, при которой частота возмущающих сил ω совпадает с частотой собственных изгибных колеба-ний ротора. Из выражения (3.4) следует,что

у = ∞ при .

Отсюда резонансная круговая частота, или, как её ешё называют, критическая угловая скорость вращения определяется как

, (3.5)

а критическая частота вращения (с^-1)

.

Подставляя значение массы , получим

, (3.6)

где m, кг; Q – сила тяжести диска, Н; g = 9,81 м/с².

При критической частоте вращения возникают резонансные колеба-ния, но мгновенной поломки вала не происходит, вследствие действия сил сопротивления (демпфирования). К этим силам относятся: внутренние си-лы трения материала вала, трение поверхности ротора об окружающую среду и силы трения в масляном слое подшипников. Развитие амплитуды колебаний при резонансе уменьшается при увеличении коэффициента соп-ротивления h (см. 2.3.3.1). Работа турбины при критическом числе оборо-тов сопровождается значительной вибрацией и при длительной работе мо-жет привести к аварии. Если при изменении частоты вращения ротора быстро перейти через критическую частоту вращения, то амплитуда коле-бании вала при резонансе не успеет достигнуть максимального значения.

Подставим значение из (3.5) в (3.4), тогда

. (3.7)

Это выражение положительно при ω < ω_к и отрицательно при ω > ω_к. Угловая скорость вращения ω представляет собой круговую частоту вы-нужденных колебаний вала, а ω_к – круговую частоту собственных коле-баний.

Вынужденные колебания всегда отстают по фазе от возмущающей силы, причём величина (угол) отставания ψ находится в пределах от 0 до π.

Зависимость ψ от отношения частот ω/ω_к (Ω/ω₀), построенная для раз-

личных значений коэффициента затухания , называется фазо-вой характеристикой (см. рис. 3.4).

(ω/ω_к)

Рис. 3.4 Фазовые характеристики затухающих колебаний

С увеличением отношения ω/ω_к сдвиг фаз ψ постепенно увеличивает-ся. В интервале ω < ω_к угол ψ положителен и меньше 90^о. В момент резона-нса, т.е. при ω/ω_к = 1 сдвиг фаз составляет ψ = 90^о, а эксцентриситет центра тяжести е (ОS) перпендикулярен стреле динамического прогиба у (см. рис. 3.3, в), в зарезонансной области (ω > ω_к) происходит т.н. опрокидывание фазы. В этой области изменение сдвига фаз происходит замедленно в ин-тервале 90^о < ψ < 180^о (рис. 3.3, г). В случае ω > ω_к знаменатель последнего выражения (3.7) для у становится отрицательным, следовательно, отрица-тельным должен быть и эксцентриситет е, а ψ →180^о. Отсюда следует, что с увеличением угловой скорости после ω = ω_к величина прогиба у умень-шается, и при ω = ∞ становится равной эксцентриситету е (рис. 3.3,д).

Следовательно, опасными для турбины являются числа оборотов, бли-зкие к критическим. При оборотах, достаточно удалённых по обе стороны от критических, вал турбины работает без вибрации.

Коэффициент затухания δ влияет на изменение сдвига фаз ψ следую-щим образом: при δ, стремящемся к нулю, кривые стремятся к предельной

кривой, имеющей разрыв в момент резонанса; при увеличении δ сдвиг фаз

в интервале 0 < ω/ω_к < 1 происходит быстрее, а в интервале ω/ω_к > 1 мед-

леннее.