- •Введение
- •1. Основные понятия теории вероятностей Операции над событиями
- •Частость наступления события
- •Свойства частости
- •Аксиоматика теории вероятности Построение вероятностного пространства
- •Теорема о продолжении меры
- •Определение вероятностного пространства
- •Классическое определение вероятности
- •Условная вероятность
- •Обоснование формулы условной вероятности в общем случае
- •Независимые события
- •Формула сложения вероятностей
- •Формула полной вероятности
- •Формула Байеса
- •Композиция испытаний
- •Композиция n испытаний
- •Композиция n независимых испытаний
- •Биномиальное распределение
- •Случайная величина Теорема Колмогорова
- •Дискретные случайные величины
- •Вероятностные характеристики дискретных случайных величин
- •Свойства математического ожидания
- •Производная функция
- •Первая модель распределения Пуассона
- •Вторая модель распределения Пуассона
- •Непрерывные случайные величины
- •Свойства плотности вероятности
- •Второе эквивалентное определение плотности вероятности
- •Вероятностные характеристики непрерывных случайных величин
- •Распределение Гаусса - нормальное
- •Функция Лапласа
- •Неравенство Чебышева
- •Многомерные случайные величины
- •Аксиоматика. Формальная вероятностная модель
- •Двумерные случайные величины
- •Двумерные непрерывные случайные величины
- •2. Основы математической статистики
- •2.1. Основные понятия математической статистики
- •Интервальная группировка и представление выборочных данных
- •Числовые характеристики распределения выборки
- •Точечные статистические оценки параметров распределения
- •2.1.5.3. "Исправленная" дисперсия и "исправленное" среднее квадратическое отклонение
- •Интервальные статистические оценки параметров распределения (доверительные интервалы)
- •2.1.6.3. Доверительный интервал для математического ожидания нормального распределения случайной величины
- •Основные законы распределения, используемые в статистических исследованиях
- •Асимметрия и эксцесс распределения
- •2.2. Основные методы математической статистики
- •2.2.1. Проверка статистических гипотез
- •Проверка гипотезы о нормальном распределении генеральной совокупности. Критерий Колмогорова
- •2.2.2. Исследование статистических различий между двумя выборками
- •Список использованных источников
- •Содержание Справочные материалы
- •Значения функции
- •Значения нормально распределенной случайной величины z
- •На интервале [0,1]
- •Значения функции
- •Табличные (критические) значения функции распределения χ2
Табличные (критические) значения функции распределения χ2
k
χ2 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
11 |
12 |
13 |
14 |
1 |
0,68 |
0,39 |
0,19 |
0,09 |
0,04 |
0,01 |
0,05 |
0,00 |
0,00 |
0,00 |
|
|
|
|
2 |
0,84 |
0,63 |
0,43 |
0,26 |
0,15 |
0,08 |
0,04 |
0,02 |
0,01 |
0,00 |
|
|
|
|
3 |
0,92 |
0,78 |
0,61 |
0,44 |
0,30 |
0,19 |
0,12 |
0,07 |
0,04 |
0,02 |
0,01 |
|
|
|
4 |
0,95 |
0,86 |
0,74 |
0,59 |
0,45 |
0,32 |
0,22 |
0,14 |
0,08 |
0,05 |
0,03 |
0,01 |
0,01 |
|
5 |
0,97 |
,092 |
0,83 |
0,71 |
0,58 |
0,45 |
0,34 |
0,24 |
0,16 |
0,11 |
0,06 |
0,04 |
0,02 |
0,01 |
6 |
0,98 |
0,95 |
0,88 |
0,80 |
0,69 |
0,57 |
0,46 |
0,35 |
0,26 |
0,18 |
0,12 |
0,08 |
0,05 |
0,03 |
7 |
0,99 |
0,97 |
0,93 |
0,86 |
0,78 |
0,68 |
0,57 |
0,46 |
0,36 |
0,27 |
0,20 |
0,14 |
0,09 |
0,06 |
8 |
0,99 |
0,98 |
0,95 |
0,91 |
0,84 |
0,76 |
0,66 |
0,56 |
0,46 |
0,37 |
0,29 |
0,21 |
0,15 |
0,11 |
9 |
0,99 |
0,98 |
0,97 |
0,94 |
0,89 |
0,83 |
0,75 |
0,65 |
0,56 |
0,46 |
0,38 |
0,29 |
0,23 |
0,15 |
10 |
0,99 |
0,99 |
0,96 |
0,96 |
0,92 |
0,87 |
0,81 |
0,73 |
0,65 |
0,56 |
0,47 |
0,38 |
0,31 |
0,24 |
11 |
0,99 |
0,99 |
0,96 |
0,97 |
0,95 |
0,91 |
0,86 |
0,79 |
0,72 |
0,64 |
0,56 |
0,47 |
0,39 |
0,31 |
12 |
0,99 |
0,99 |
0,99 |
0,98 |
0,96 |
0,94 |
0,89 |
0,85 |
0,78 |
0,71 |
0,64 |
0,56 |
0,47 |
0,39 |
13 |
0,99 |
0,99 |
0,99 |
0,98 |
0,97 |
0,96 |
0,93 |
0,88 |
0,83 |
0,77 |
0,71 |
0,63 |
0,55 |
0,47 |
14 |
0,99 |
0,99 |
0,99 |
0,99 |
0,98 |
0,97 |
0,94 |
0,92 |
0,87 |
0,82 |
0,77 |
0,70 |
0,62 |
0,55 |
15 |
0,99 |
0,99 |
0,99 |
0,99 |
0,98 |
0,98 |
0,96 |
0,94 |
0,91 |
0,86 |
0,82 |
0,75 |
0,69 |
0,62 |
16 |
0,99 |
0,99 |
0,99 |
0,99 |
0,99 |
0,98 |
0,97 |
0,95 |
0,93 |
0,90 |
0,86 |
0,80 |
0,75 |
0,68 |
17 |
1,0 |
0,99 |
0,99 |
0,99 |
0,99 |
0,99 |
0,98 |
0,97 |
0,95 |
0,92 |
0,89 |
0,85 |
0,80 |
0,74 |
18 |
|
0,99 |
0,99 |
0,99 |
0,99 |
0,99 |
0,98 |
0,97 |
0,96 |
0,94 |
0,92 |
0,88 |
0,84 |
0,79 |
19 |
|
0,99 |
0,99 |
0,99 |
0,99 |
0,99 |
0,99 |
0,98 |
0,97 |
0,95 |
0,93 |
0,91 |
0,87 |
0,83 |
20 |
|
1,0 |
0,99 |
0,99 |
0,99 |
0,99 |
0,99 |
0,98 |
0,98 |
0,97 |
0,95 |
0,93 |
0,90 |
0,87 |
21 |
|
|
0,99 |
0,99 |
0,99 |
0,99 |
0,99 |
0,99 |
0,98 |
0,97 |
0,96 |
0,95 |
0,92 |
0,89 |
22 |
|
|
0,99 |
0,99 |
0,99 |
0,99 |
0,99 |
0,99 |
0,99 |
0,98 |
0,97 |
0,96 |
0,94 |
0,92 |
23 |
|
|
0,99 |
0,99 |
0,99 |
0,99 |
0,99 |
0,99 |
0,99 |
0,99 |
0,98 |
0,97 |
0,96 |
0,94 |
24 |
|
|
0,99 |
0,99 |
0,99 |
0,99 |
0,99 |
0,99 |
0,99 |
0,99 |
0,99 |
0,98 |
0,97 |
0,95 |
25 |
|
|
0,99 |
0,99 |
0,99 |
0,99 |
0,99 |
0,99 |
0,99 |
0,99 |
0,99 |
0,99 |
0,97 |
0,96 |
26 |
|
|
1,0 |
0,99 |
0,99 |
0,99 |
0,99 |
0,99 |
0,99 |
0,99 |
0,99 |
0,99 |
0,98 |
0,97 |
27 |
|
|
|
0,99 |
0,99 |
0,99 |
0,99 |
0,99 |
0,99 |
0,99 |
0,99 |
0,99 |
0,98 |
0,98 |
28 |
|
|
|
1,0 |
0,99 |
0,99 |
0,99 |
0,99 |
0,99 |
0,99 |
0,99 |
0,99 |
0,99 |
0,98 |
29 |
|
|
|
|
0,99 |
0,99 |
0,99 |
0,99 |
0,99 |
0,99 |
0,99 |
0,99 |
0,99 |
0,98 |
30 |
|
|
|
|
1,0 |
0,99 |
0,99 |
0,99 |
0,99 |
0,99 |
0,99 |
0,99 |
0,99 |
0,98 |
Продолжение таблицы 6
k
χ2 |
15 |
16 |
17 |
18 |
19 |
20 |
21 |
22 |
23 |
24 |
25 |
26 |
27 |
28 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
0,01 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
0,02 |
0,01 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7 |
0,04 |
0,02 |
0,01 |
0,01 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8 |
0,07 |
0,05 |
0,02 |
0,02 |
0,01 |
0,01 |
|
|
|
|
|
|
|
|
9 |
0,12 |
0,08 |
0,04 |
0,04 |
0,02 |
0,01 |
0,01 |
|
|
|
|
|
|
|
10 |
0,18 |
0,13 |
0,06 |
0,06 |
0,04 |
0,03 |
0,02 |
0,01 |
|
|
|
|
|
|
11 |
0,24 |
0,19 |
0,10 |
0,10 |
0,07 |
0,05 |
0,04 |
0,02 |
0,01 |
0,01 |
|
|
|
|
12 |
0,32 |
0,25 |
0,15 |
0,15 |
0,11 |
0,08 |
0,06 |
0,04 |
0,03 |
0,02 |
0,01 |
|
|
|
13 |
0,39 |
0,32 |
0,21 |
0,21 |
0,16 |
0,12 |
0,09 |
0,06 |
0,05 |
0,03 |
0,02 |
0,01 |
0,01 |
|
14 |
0,47 |
0,40 |
0,27 |
0,27 |
0,21 |
0,16 |
0,13 |
0,09 |
0,07 |
0,05 |
0,04 |
0,03 |
0,02 |
0,01 |
15 |
0,55 |
0,47 |
0,33 |
0,33 |
0,27 |
0,22 |
0,17 |
0,14 |
0,10 |
0,08 |
0,06 |
0,04 |
0,03 |
0,02 |
16 |
0,62 |
0,54 |
0,40 |
0,40 |
0,34 |
0,28 |
0,23 |
0,18 |
0,14 |
0,11 |
0,08 |
0,06 |
0,04 |
0,03 |
17 |
0,68 |
0,61 |
0,47 |
0,47 |
0,41 |
0,34 |
0,28 |
0,23 |
0,19 |
0,15 |
0,12 |
0,09 |
0,07 |
0,05 |
18 |
0,73 |
0,67 |
0,54 |
0,54 |
0,47 |
0,41 |
0,35 |
0,29 |
0,24 |
0,19 |
0,15 |
0,12 |
0,09 |
0,07 |
19 |
0,78 |
0,73 |
0,61 |
0,61 |
0,54 |
0,47 |
0,41 |
0,35 |
0,30 |
0,25 |
0,20 |
0,16 |
0,13 |
0,10 |
20 |
0,82 |
0,77 |
0,66 |
0,65 |
0,60 |
0,54 |
0,48 |
0,42 |
0,36 |
0,30 |
0,25 |
0,21 |
0,17 |
0,13 |
21 |
0,86 |
0,82 |
0,72 |
0,72 |
0,66 |
0,50 |
0,54 |
0,48 |
0,42 |
0,36 |
0,31 |
0,26 |
0,21 |
0,17 |
22 |
0,89 |
0,85 |
0,77 |
0,77 |
0,71 |
0,66 |
0,60 |
0,54 |
0,48 |
0,42 |
0,36 |
0,31 |
0,26 |
0,21 |
23 |
0,91 |
0,88 |
0,81 |
0,81 |
0,76 |
0,71 |
0,65 |
0,59 |
0,54 |
0,48 |
0,42 |
0,36 |
0,31 |
0,26 |
24 |
0,93 |
0,91 |
0,84 |
0,84 |
0,80 |
0,75 |
0,70 |
0,65 |
0,59 |
0,54 |
0,48 |
0,42 |
0,37 |
0,32 |
25 |
0,95 |
0,93 |
0,87 |
0,87 |
0,83 |
0,79 |
0,75 |
0,70 |
0,65 |
0,59 |
0,54 |
0,48 |
0,42 |
0,37 |
26 |
0,96 |
0,94 |
0,90 |
0,90 |
0,86 |
0,83 |
0,79 |
0,75 |
0,69 |
0,64 |
0,59 |
0,53 |
0,48 |
0,43 |
27 |
0,97 |
0,96 |
0,92 |
0,92 |
0,89 |
0,86 |
0,83 |
0,79 |
0,74 |
0,69 |
0,64 |
0,59 |
0,53 |
0,48 |
28 |
0,97 |
0,96 |
0,94 |
0,94 |
0,91 |
0,89 |
0,86 |
0,82 |
0,78 |
0,74 |
0,69 |
0,64 |
0,58 |
0,53 |
29 |
0,98 |
0,97 |
0,95 |
0,95 |
0,93 |
0,91 |
0,88 |
0,85 |
0,82 |
0,78 |
0,73 |
0,69 |
0,64 |
0,58 |
30 |
0,98 |
0,98 |
0,96 |
0,95 |
0,94 |
0,93 |
0,99 |
0,88 |
0,85 |
0,81 |
0,77 |
0,73 |
0,68 |
0,63 |
Для заметок
Колесниченко Сергей Викторович
ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА
Учебное пособие
Представлено в авторской редакции
1 См.:Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика. М., 1977. С.464.
2 См.: Там же.
3 См.: Сборник задач по математике для вузов: Специальные курсы / Под ред. А.В. Ефимова. М., 1984.
4 См.: Айвазян С.А., Енюков И.С., Мешалкин Л.Д. Прикладная статистика: Исследование зависимостей. М., 1985.
5 См.: Сборник задач по математике для вузов: Специальные курсы / Под ред. А.В. Ефимова. М., 1984.
6 См.: там же.
7 См.: Сборник задач по математике для вузов: Специальные курсы / Под ред. А.В. Ефимова. М., 1984.
8 См.: Сборник задач по математике для вузов: Специальные курсы / Под ред. А.В. Ефимова. М., 1984.
9 См.: Сборник задач по математике для вузов: Специальные курсы / Под ред. А.В. Ефимова. М., 1984.