Проверка гипотезы о нормальном распределении генеральной совокупности. Критерий Колмогорова

Для изучаемой переменной  выдвигается статистическая гипотеза :  имеет нормальный закон распределения. Исходным материалом для проверки являются выборочные данные (выборка). На заданном уровне значимости требуется установить, согласуется ли выдвинутая гипотеза с выборочными данными или противоречит им.

Проверка гипотезы нормальности по критерию Колмогорова основана на сравнении между собой эмпирической функции распределения , полученной по данным выборки объема , и гипотетической (теоретической) функции распределения нормального закона. Близость между ними оценивается статистикой Колмогорова:

.

В качестве эмпирической функции распределения выбирается кумулятивная кривая; при этом предполагается, что выборка предварительно сгруппирована в интервальный статистический ряд, причем объем выборки ,число интервалов группировки .

Гипотетическая функция распределения имеет вид:

.

Практически значения эмпирической функции распределения вычисляются в узлах кумулятивной кривой, следовательно, статистика принимает вид

,

где – есть накопленная к концу -го интервала интервальная относительная частота; . Соответствующее значение гипотетической функции распределения приближенно может быть найдено по формуле

.

Здесь – функция распределения стандартного нормального закона , выражаемая формулой

.

Специальная таблица значений функции для положительных x приведена в прил. 1.³ Для отрицательных значений аргумента x следует применять свойство: .

Описанные выше вычисления наблюдаемого значения статистики Колмогорова удобно организовывать в форме расчетной таблицы следующего вида:

При этом предполагается, что предварительно найдены выборочная средняя и "исправленное" среднее квадратическое отклонение .

Критическую точку статистики Колмогорова находим по специальной таблице.⁴ В случае, если и , удобно использовать следующую формулу:

.

Критерий (разрешающее правило) проверки гипотезы нормальности состоит в следующем:

1. Если , то гипотеза сохраняется (т.е. она согласуется с данной выборкой).

2. Если же , то гипотеза отвергается (т.е. она противоречит данной выборке).

Последнее означает, что изучаемая переменная  не является нормально распределенной.

Пример Дан интервальный статистический ряд:

	50–53	53–56	56–59	59–62	62–65	65–68
	1	2	11	21	11	4

Требуется на заданном уровне значимости с помощью критерия Колмогорова проверить гипотезу о том, что данная выборка извлечена из нормально распределенной генеральной совокупности.

Здесь , , , , .

В соответствии с вышеизложенным составим расчетную таблицу

1	50–53	1	0,02	0,02	–2,3790	0,0087	0,0113	0,0113
2	53–56	2	0,04	0,06	–1,4348	0,0764	–0,0164	0,0164
3	56–59	11	0,22	0,28	–0,4909	0,3121	–0,0321	0,0321	0,0321
4	59–62	21	0,42	0,70	0,4531	0,6736	0,0264	0,0246
5	62–65	11	0,22	0,92	1,3971	0,9192	0,0008	0,0008
6	65–68	4	0,08	1,00	2,3411	0,9904	0,0096	0,0096
	–	50	1,00	–	–	–	–	–	–

Таким образом, наблюдаемое значение статистики Колмогорова =0,0321.

Далее определяем критическую точку статистики Колмогорова:

.

Сравниваем и и применяем разрешающее правило . Так как < , то выдвинутая гипотеза сохраняется; откуда делаем статистический вывод о том, что данная выборка согласуется с предположением о нормальном распределении изучаемой переменной .

Критерий согласия Пирсона ( χ² )

проверки гипотезы о нормальном распределении

Рассмотрим классический статистический метод решения задачи, поставленной в предыдущем пункте.

Пусть сформирована выборка некоторого объема , проведена интервальная группировка и получен интервальный статистический ряд.

Условия применимости метода Пирсона следующие: все . Если в некоторых интервалах последнее требование не выполняется, то рекомендуется эти интервалы объединить с соседними.

Проверка гипотезы нормальности по критерию Пирсона так же основана на сравнении эмпирического и гипотетического распределений, точнее, на сравнении эмпирических и теоретических интервальных частот. Мера близости между ними оценивается следующей статистикой Пирсона:

,

где – интервальные (эмпирические) частоты;

– интервальные теоретические частоты;

– теоретические вероятности попадания переменной  в -й интервал группировки, .

При этом теоретические вероятности рассчитываются в предположении нормальности распределения случайной величины .

Стандартными в теории вероятностей преобразованиями устанавливается, что теоретические вероятности можно приближенно выразить следующей формулой:

,

где . Здесь есть плотность стандартного нормального стандартного распределения (0,1).

Специальная таблица значений функции для неотрицательных приведена в прил.2.⁵

Вычисления наблюдаемого значения статистики Пирсона удобно организовать в форме расчетной таблицы.

								–	( – )2
1…m
∑	–	–	n	–	–	1	n	–	–

В развернутых курсах математической статистики доказывается, что (при условии справедливости выдвинутой гипотезы ) статистика имеет классическое распределение Пирсона с степенями свободы.

По таблице квантилей распределения (табл.П5)⁶ для заданного уровня значимости и числа степеней свободы определяем критическую точку - распределения в соответствии с равенством:

,

где (порядок квантили).

Критерий Пирсона (разрешимое правило) проверки гипотезы нормальности заключается в следующем:

1. Если , то гипотеза сохраняется (согласуется с данной выборкой).

2. Если же , то гипотеза решительно отвергается.

Пример. Используя условия примера п. 2.2.1.3, проверить гипотезу о нормальном распределении с помощью критерия .

Для вычисления заполняем расчетную таблицу:

1	50–53	51,5	1	2,851	0,0069	0,0065	0,325	0,675	0,4556	1,4018
2	53–56	54,5	2	1,907	0,0644	0,0608	3,040	–1,040	1,0816	0,3558
3	56–59	57,5	11	0,963	0,2516	0,2375	11,875	–0,875	0,7656	0,0645
4	59–62	60,5	21	0,019	0,3989	0,3766	18,830	2,170	4,7089	0,2501
5	62–65	63,5	11	0,925	0,2589	0,2444	12,220	–1,220	1,4884	0,1218
6	65–68	66,5	4	1,869	0,0694	0,0655	3,275	0,725	0,5256	0,1605
∑	–	–	50	–	–	0,9913	49,565	–	-	2,3545

Следовательно, наблюдаемое значение статистики Пирсона =2,355.

Далее определяем критическую точку статистики Пирсона при , –3=3,

.

Сравнивая и , обнаруживаем, что

.

В соответствии с разрешающим правилом критерия Пирсона заключаем, что выдвинутая гипотеза нормальности сохраняется, т.е. согласуется с данной выборкой.