2.2. Основные методы математической статистики
2.2.1. Проверка статистических гипотез
Постановка задачи о проверке статистической гипотезы
Статистическая гипотеза – всякое предположение о виде закона распределения исследуемой переменной или параметрах известного распределения.
Так, например,
можно предположить (выдвинуть гипотезу),
что изучаемая переменная X
распределена по нормальному закону. В
этой гипотезе речь идет о виде
предполагаемого закона распределения.
Достаточно типична и такая ситуация:
закон распределения изучаемой переменной
известен, но неизвестны параметры этого
распределения. Тогда естественно
выдвинуть гипотезу о том, что неизвестный
параметр
принадлежит, например, заданному
интервалу.
Таким образом, статистические гипотезы подразделяются на две группы:
гипотезы о виде закона распределения;
гипотезы о параметрах известного закона распределения (параметрические гипотезы).
Выдвигаемую
гипотезу называют нулевой (основной) и
обозначают через
.
Наряду с выдвинутой гипотезой рассматривают
и противоречащую ей гипотезу
.
Гипотезу, которая противоречит нулевой,
называют конкурирующей (альтернативной)
и обозначают через
(
=
).
Выдвинутая гипотеза
,
как и всякое предположение, в
действительности может быть либо верной,
либо неверной; поэтому возникает
необходимость ее проверки.
Исходным материалом для проверки выдвинутой гипотезы служат выборочные данные (выборка).
Задача проверки
гипотезы
описательно заключается в следующем:
на заданном уровне значимости
требуется установить, согласуется ли
выдвинутая гипотеза
с выборочными данными или противоречит
им.
Уровень значимости
– вероятность совершить ошибку первого
рода ("степень риска"), т.е. вероятность
ошибочно отвергнуть верную гипотезу.
Уровень значимости
назначается исследователем; наиболее
часто
принимают равным 0,05 (5%) или 0,01 (1%), что
соответствует практически ничтожному
риску, и тем самым обеспечивают высокую
надежность правильного решения задачи.
Основные принципы и необходимые этапы проверки статистической гипотезы
Для проверки
выдвинутой гипотезы
используется статистический критерий
(разрешающее правило), согласно которому
на основании данных выборки принимается
решение сохранить либо отвергнуть
нулевую гипотезу
.
В основе критерия
лежит его статистика Z
– специально
подбираемая для выдвинутой гипотезы
случайная величина, закон распределения
которой достаточно хорошо изучен
(имеется таблица квантилей этого
распределения).
Обозначим через
множество всех возможных значений
статистики Z.
Это множество
разбивается на два непересекающихся
подмножества
и
:
,
,
где – область допустимых значений статистики Z;
– критическая область статистики Z.
Точки, отделяющие
от
,
называются критическими точками
статистики Z.
Вопрос построения критической области
мы здесь рассматривать не будем, отметим
лишь только, что
.
По выборочным
данным (выборке) вычисляется наблюдаемое
значение статистики:
.
Критерий (разрешающее правило) проверки выдвинутой гипотезы заключается в следующем:
1. Если
,
то гипотеза
отвергается.
2. Если
,
то гипотеза
сохраняется (т.е. она согласуется с
выборочными данными).
Заметим, что отвергают гипотезу более решительно, чем принимают. Принимают гипотезу весьма осторожно. Дело в том, что в случае выдвинутая гипотеза еще не доказана (по данным одной ограниченной выборки). На практике для большей уверенности принятия гипотезы повторяют эксперимент, увеличив объем выборки, и еще раз проверяют гипотезу (может быть другими способами).
Итак, необходимыми этапами проверки статистической гипотезы являются:
формирование выборки;
выдвижение гипотез и ;
назначение уровня значимости ;
выбор подходящей статистики Z для проверки ;
вычисление по выборке наблюдаемого значения статистики ;
определение по таблице критических точек
статистики Z
и построение критической области
;принятие решения согласно критерию проверки гипотезы .