Вариант № 52419

1. B 8 . Ма­те­ри­аль­ная точка дви­жет­ся пря­мо­ли­ней­но по за­ко­ну (где x — рас­сто­я­ние от точки от­сче­та в мет­рах, t — время в се­кун­дах, из­ме­рен­ное с на­ча­ла дви­же­ния). Най­ди­те ее ско­рость (в м/с) в мо­мент вре­ме­ни t = 9 с.

По­яс­не­ние.

Най­дем закон из­ме­не­ния ско­ро­сти:

.

При t = 9 c имеем:

 

 

м/с.

 

Ответ: 60.

Ответ: 60

2. B 8 . Дач­ный уча­сток имеет форму пря­мо­уголь­ни­ка со сто­ро­на­ми 25 мет­ров и 30 мет­ров. Хо­зя­ин пла­ни­ру­ет об­не­сти его за­бо­ром и раз­де­лить таким же за­бо­ром на две части, одна из ко­то­рых имеет форму квад­ра­та. Най­ди­те общую длину за­бо­ра в мет­рах.

По­яс­не­ние.

Длина за­бо­ра равна сумме пе­ри­мет­ра и ши­ри­ны. Най­дем пе­ри­метр участ­ка 30+30+25+25=110 м.

Длина за­бо­ра 110+25=135 м.

 

Ответ: 135.

Ответ: 135

3. B 8 . На ри­сун­ке изоб­ра­жен гра­фик про­из­вод­ной функ­ции f(x), опре­де­лен­ной на ин­тер­ва­ле (−11; 11). Най­ди­те ко­ли­че­ство точек экс­тре­му­ма функ­ции f(x) на от­рез­ке [−10; 10].

 

По­яс­не­ние.

Точки экс­тре­му­ма со­от­вет­ству­ют точ­кам смены знака про­из­вод­ной. Про­из­вод­ная ме­ня­ет знак в точ­ках −6, −2, 2, 6, 9. Тем самым, на от­рез­ке [−10; 10] функ­ция имеет 5 точек экс­тре­му­ма.

 

Ответ: 5.

Ответ: 5

4. B 8 .

Пря­мая яв­ля­ет­ся ка­са­тель­ной к гра­фи­ку функ­ции . Най­ди­те абс­цис­су точки ка­са­ния.

По­яс­не­ние.

Усло­вие ка­са­ния гра­фи­ка функ­ции и пря­мой задаётся си­сте­мой тре­бо­ва­ний:

 

 

В нашем слу­чае имеем:

 

Про­вер­ка по­ка­зы­ва­ет, что пер­вый ко­рень удо­вле­тво­ря­ет, а вто­рой не удо­вле­тво­ря­ет урав­не­нию (*). По­это­му ис­ко­мая абс­цис­са точки ка­са­ния 0.

 

 

Ответ: 0.

Ответ: 0

5. B 8 . Дач­ный уча­сток имеет форму пря­мо­уголь­ни­ка, сто­ро­ны ко­то­ро­го равны 20 м и 30 м. Дом, рас­по­ло­жен­ный на участ­ке, имеет форму квад­ра­та со сто­ро­ной 6 м. Най­ди­те пло­щадь остав­шей­ся части участ­ка. Ответ дайте в квад­рат­ных мет­рах.

По­яс­не­ние.

Пло­щадь пря­мо­уголь­ни­ка равна про­из­ве­де­нию его длины на ши­ри­ну, по­это­му пло­щадь участ­ка равна 20 · 30=600 кв.м. Пло­щадь квад­ра­та равна квад­ра­ту его сто­ро­ны, по­это­му пло­щадь дома равна 6 · 6 = 36 кв.м. Тем самым, пло­щадь участ­ка, не­за­ня­то­го домом равна 600 − 36 = 564 кв.м.

 

Ответ: 564.

Ответ: 564

6. B 8 . На ри­сун­ке изоб­ра­жен гра­фик про­из­вод­ной функ­ции f(x), опре­де­лен­ной на ин­тер­ва­ле (−10; 2). Най­ди­те ко­ли­че­ство точек, в ко­то­рых ка­са­тель­ная к гра­фи­ку функ­ции f(x) па­рал­лель­на пря­мой y = −2x − 11 или сов­па­да­ет с ней.

 

По­яс­не­ние.

Зна­че­ние про­из­вод­ной в точке ка­са­ния равно уг­ло­во­му ко­эф­фи­ци­ен­ту ка­са­тель­ной. По­сколь­ку ка­са­тель­ная па­рал­лель­на пря­мой y = −2x − 11 или сов­па­да­ет с ней, их уг­ло­вые ко­эф­фи­ци­ен­ты равны –2. Най­дем ко­ли­че­ство точек, в ко­то­рых y'(x₀) = −2, это со­от­вет­ству­ет ко­ли­че­ству точек пе­ре­се­че­ния гра­фи­ка про­из­вод­ной с пря­мой y = −2. На дан­ном ин­тер­ва­ле таких точек 5.

 

Ответ: 5.

Ответ: 5

7. B 8 . Ры­бо­лов­ное хо­зяй­ство стро­ит бас­сейн для раз­ве­де­ния рыбы. Бас­сейн имеет форму пря­мо­уголь­ни­ка со сто­ро­на­ми 4 м и 12 м. В цен­тре каж­до­го бас­сей­на на­хо­дит­ся тех­ни­че­ская по­строй­ка, ко­то­рая имеет форму пря­мо­уголь­ни­ка со сто­ро­на­ми 2 м и 3 м. Най­ди­те пло­щадь остав­шей­ся части бас­сей­на.

По­яс­не­ние.

Пло­щадь бас­сей­на без учёта тех­ни­че­ской по­строй­ки равна 4 · 12 = 48 м². Учи­ты­вая, что тех­ни­че­ская по­строй­ка за­ни­ма­ет пло­щадь 2 · 3 = 6 м², по­лу­ча­ем, что пло­щадь остав­шей­ся части бас­сей­на: 48 − 6 = 42 м².

 

Ответ: 42.

Ответ: 42

8. B 8 . Ма­те­ри­аль­ная точка дви­жет­ся пря­мо­ли­ней­но по за­ко­ну (где x — рас­сто­я­ние от точки от­сче­та в мет­рах, t — время в се­кун­дах, из­ме­рен­ное с на­ча­ла дви­же­ния). Най­ди­те ее ско­рость (в м/с) в мо­мент вре­ме­ни t = 1 с.

По­яс­не­ние.

Най­дем закон из­ме­не­ния ско­ро­сти:

При t = 1 c имеем:

 

Ответ: 1.

Ответ: 1

9. B 8 .

 

На ри­сун­ке изоб­ражён гра­фик функ­ции y=f(x) и ка­са­тель­ная к нему в точке с абс­цис­сой x₀. Най­ди­те зна­че­ние про­из­вод­ной функ­ции f(x) в точке

По­яс­не­ние.

Зна­че­ние про­из­вод­ной в точке ка­са­ния равно уг­ло­во­му ко­эф­фи­ци­ен­ту ка­са­тель­ной, ко­то­рый в свою оче­редь равен тан­ген­су угла на­кло­на дан­ной ка­са­тель­ной к оси абс­цисс. По­стро­им тре­уголь­ник с вер­ши­на­ми в точ­ках A (−2; 3), B (6; −7), C (−2; −7). Угол на­кло­на ка­са­тель­ной к оси абс­цисс будет углу, смеж­но­му с углом ABC. По­это­му

 

.

 

 

Ответ: −1,25.

Ответ: -1,25

10. B 8 . На ри­сун­ке изоб­ражён гра­фик функ­ции и ка­са­тель­ная к нему в точке с абс­цис­сой . Най­ди­те зна­че­ние про­из­вод­ной функ­ции в точке .