Вариант № 52418

1. B 8 .

На ри­сун­ке изоб­ражён гра­фик функ­ции y=f(x) и ка­са­тель­ная к нему в точке с абс­цис­сой x₀. Най­ди­те зна­че­ние про­из­вод­ной функ­ции f(x) в точке x₀.

По­яс­не­ние.

Зна­че­ние про­из­вод­ной в точке ка­са­ния равно уг­ло­во­му ко­эф­фи­ци­ен­ту ка­са­тель­ной, ко­то­рый в свою оче­редь равен тан­ген­су угла на­кло­на дан­ной ка­са­тель­ной к оси абс­цисс. По­стро­им тре­уголь­ник с вер­ши­на­ми в точ­ках A (−3; 3), B (5; 5), C (5; 3). Угол на­кло­на ка­са­тель­ной к оси абс­цисс будет равен углу BAC. По­это­му

 

 

 

Ответ: 0,25.

Ответ: 0,25

2. B 8 . На ри­сун­ке изоб­ра­жен гра­фик про­из­вод­ной функ­ции f(x), опре­де­лен­ной на ин­тер­ва­ле (−10; 4). Най­ди­те про­ме­жут­ки убы­ва­ния функ­ции f(x). В от­ве­те ука­жи­те длину наи­боль­ше­го из них.

 

По­яс­не­ние.

Про­ме­жут­ки убы­ва­ния функ­ции f(x) со­от­вет­ству­ют про­ме­жут­кам, на ко­то­рых про­из­вод­ная функ­ции от­ри­ца­тель­на, то есть ин­тер­ва­лу (−9; −6) дли­ной 3 и ин­тер­ва­лу (−2; 3) дли­ной 5. Длина наи­боль­ше­го из них равна 5.

 

Ответ: 5.

Ответ: 5

3. B 8 . На ри­сун­ке изоб­ражён гра­фик функ­ции . Функ­ция   — одна из пер­во­об­раз­ных функ­ции  . Най­ди­те пло­щадь за­кра­шен­ной фи­гу­ры.

По­яс­не­ние.

Пло­щадь вы­де­лен­ной фи­гу­ры равна раз­но­сти зна­че­ний пер­во­об­раз­ных, вы­чис­лен­ных в точ­ках и Имеем:

 

Ответ:6.

Ответ: 6

4. B 8 . Два са­до­во­да, име­ю­щие пря­мо­уголь­ные участ­ки раз­ме­ра­ми 20 м на 30 м с общей гра­ни­цей, до­го­во­ри­лись и сде­ла­ли общий пря­мо­уголь­ный пруд раз­ме­ром 10 м на 14 м (см. чертёж), причём гра­ни­ца участ­ков про­хо­дит точно через центр. Ка­ко­ва пло­щадь (в квад­рат­ных мет­рах) остав­шей­ся части участ­ка каж­до­го са­до­во­да?

По­яс­не­ние.

Пло­щадь каж­до­го из участ­ков равна 20 · 30 = 600 кв. м, а пло­щадь пруда равна 10 · 14 = 140 кв. м. На каж­дом участ­ке на­хо­дит­ся по­ло­ви­на пруда, за­ни­мая 70 кв. м. По­это­му пло­щадь остав­шей­ся части каж­до­го из участ­ков равна 600 − 70 = 530 кв. м.

 

Ответ: 530.

Ответ: 530

5. B 8 . Пе­ри­ла лест­ни­цы дач­но­го дома для надёжно­сти укреп­ле­ны по­се­ре­ди­не вер­ти­каль­ным стол­бом. Най­ди­те вы­со­ту l этого стол­ба, если наи­мень­шая вы­со­та h₁ перил от­но­си­тель­но земли равна 1 м, а наи­боль­шая h₂ равна 2 м. Ответ дайте в мет­рах.

По­яс­не­ние.

За­ме­тим, что дан­ная кон­струк­ция пред­став­ля­ет собой тра­пе­цию, а столб — сред­няя линия дан­ной тра­пе­ции. Длина сред­ней линии тра­пе­ции равна по­лу­сум­ме ос­но­ва­ний:

 

Ответ: 1,5.

Ответ: 1,5

6. B 8 .

Ма­те­ри­аль­ная точка дви­жет­ся пря­мо­ли­ней­но по за­ко­ну (где x — рас­сто­я­ние от точки от­сче­та в мет­рах, t — время в се­кун­дах, из­ме­рен­ное с на­ча­ла дви­же­ния). В какой мо­мент вре­ме­ни (в се­кун­дах) ее ско­рость была равна 38 м/с?

По­яс­не­ние.

Най­дем закон из­ме­не­ния ско­ро­сти:

.

Чтобы найти, в какой мо­мент вре­ме­ни t ско­рость была равна 38 м/с, решим урав­не­ние:

 

с.

 

Сле­до­ва­тель­но, ско­рость точки была равна 38 м/с на че­тыр­на­дца­той се­кун­де дви­же­ния.

 

Ответ: 14.

Ответ: 14

7. B 8 .

Пря­мая яв­ля­ет­ся ка­са­тель­ной к гра­фи­ку функ­ции . Най­ди­те a.

По­яс­не­ние.

Пря­мая яв­ля­ет­ся ка­са­тель­ной к гра­фи­ку функ­ции в точке тогда и толь­ко тогда, когда од­но­вре­мен­но и . В нашем слу­чае имеем:

 

Ис­ко­мое зна­че­ние а равно 24.

 

Ответ: 24.

При­ве­дем дру­гое ре­ше­ние.

По смыс­лу за­да­чи a ≠ 0, а зна­чит, гра­фик за­дан­ной функ­ции — па­ра­бо­ла. Ка­са­тель­ная к па­ра­бо­ле (а также и к ги­пер­бо­ле) имеет с ней един­ствен­ную общую точку. По­это­му не­об­хо­ди­мо и до­ста­точ­но, чтобы урав­не­ние имело един­ствен­но ре­ше­ние. Для этого дис­кри­ми­нант урав­не­ния дол­жен быть равен нулю, от­ку­да .

Ответ: 24

8. B 8 .

На ри­сун­ке изоб­ра­жен гра­фик функ­ции y=f(x), опре­де­лен­ной на ин­тер­ва­ле (−3; 9). Най­ди­те ко­ли­че­ство точек, в ко­то­рых ка­са­тель­ная к гра­фи­ку функ­ции па­рал­лель­на пря­мой y = 12 или сов­па­да­ет с ней.

По­яс­не­ние.

По­сколь­ку ка­са­тель­ная па­рал­лель­на пря­мой y = 12 или сов­па­да­ет с ней, их уг­ло­вые ко­эф­фи­ци­ен­ты равны 0. Уг­ло­вой ко­эф­фи­ци­ент ка­са­тель­ной равен зна­че­нию про­из­вод­ной в точке ка­са­ния. Про­из­вод­ная равна нулю в точ­ках экс­тре­му­ма функ­ции. На за­дан­ном ин­тер­ва­ле функ­ция имеет 2 мак­си­му­ма и 3 ми­ни­му­ма, итого 5 экс­тре­му­мов. Таким об­ра­зом, ка­са­тель­ная к гра­фи­ку функ­ции па­рал­лель­на пря­мой y = 12 или сов­па­да­ет с ней в 5 точ­ках.

 

Ответ: 5.

Ответ: 5

9. B 8 . На ри­сун­ке изоб­ра­жен гра­фик про­из­вод­ной функ­ции f(x), опре­де­лен­ной на ин­тер­ва­ле (−2; 12). Най­ди­те про­ме­жут­ки убы­ва­ния функ­ции f(x). В от­ве­те ука­жи­те длину наи­боль­ше­го из них.

По­яс­не­ние.

Про­ме­жут­ки убы­ва­ния функ­ции f(x) со­от­вет­ству­ют про­ме­жут­кам, на ко­то­рых про­из­вод­ная функ­ции от­ри­ца­тель­на, то есть ин­тер­ва­лам (−1; 5) дли­ной 6 и (7; 11) дли­ной 4. Длина наи­боль­ше­го из них 6.

 

Ответ: 6.

Ответ: 6

10. B 8 . На ри­сун­ке изоб­ражён гра­фик функ­ции . Функ­ция   — одна из пер­во­об­раз­ных функ­ции  . Най­ди­те пло­щадь за­кра­шен­ной фи­гу­ры.