26. Цель и сущность этапа отделения корней при решении трансцендентных уравнений

На данном этапе определяются те интервалы области изменения переменной x, в каждом из которых расположен один и только один корень уравнения F(x, a₁, a₂, ..., a_k) = 0. По сути дела на этом этапе определяются грубые приближения значений x с погрешностью, определяемой длиной каждого найденного интервала. Полностью автоматизировать процесс отделения корней, пожалуй, невозможно, так как в нем обязательно присутствует элемент субъективного, интуитивного подхода к решению задачи. Иногда, например, интервал, в котором расположен корень, удается получить из физической сущности решаемой задачи.

При выполнении этого этапа с использованием ЭВМ обычно проводится "табулирование" функции F(x, a₁, a₂, ..., a_k), т.е. построение таблицы ее значений при различных значениях x, следующих друг за другом с некоторым шагом h:

x	F(x)
x₁	F₁
x₂	F₂
. . .	. . .
x_n	F_n

где x_i+1 = x_i + h ; F_i = F(x_i); i = 1,2,...,n-1.

27. Достаточное условие сходимости метода простых итераций при решении трансцендентных уравнений

Пусть выполнены условия:

1. Нелинейное уравнение имеет решение .

2. Отображение является сжимающим в области с некоторым коэффициентом .

Тогда: а) решение является единственным решением в области ;

б) последовательность , определяемая по отображению на основе итерационного процесса, сходится к решению со скоростью геометрической прогрессии;

Теорема 3.9 утверждает, что при выполнении условий 1,2 существует окрестность такая, что если взять в этой окрестности и вычислять по формуле (3.9), то в результате с любой наперед заданной точностью можно вычислить , соответствующее искомому (единственному) корню. Но так как эта окрестность неизвестна, то можно взять произвольное . Если при этом вычисляется последовательность , сходящаяся к некоторому значению , то в силу теоремы . Если сходимость отсутствует, то надо взять другое и повторить расчет.

28. Способ реализации достаточного условия сходимости метода простых простых итераций решения алгебраических уравнений

1. Уравнение равносильным преобразованием привести к виду . Это преобразование может быть осуществлено различными путями, но для сходимости нужно обеспечить выполнение условия ( — некоторая константа). При этом задача сводится к нахождению абсциссы точки пересечения прямой и кривой (рис. 3.8).