24. Различие между прямыми и итерационными методами численного решения задач. Примеры

Все методы решения СЛАУ делятся на две группы – точные (прямые) и итерационные. Точные методы позволяют получить решение системы линейных уравнений за конечное число арифметических операций (метод Гаусса, метод квадратного корня, правило Крамара и т. д.). Использование итерационных методов дает возможность найти приближенное решение системы с заданной степенью точности (метод простой итерации, метод Зейделя, метод последовательной релаксации).

При решении СЛАУ возникает необходимость выбора того или иного метода, который позволит получить эффективный результат с использованием вычислительной техники. В этой ситуации актуализируется проблема сравнительного анализа прямых и итерационных методов решения СЛАУ.

Таким образом, критериями сравнения точных и итерационных методов решения СЛАУ с использованием вычислительной техники будут:

-область применения метода;

-временные затраты на решение;

-погрешность результата.
Прямой Итерационный неэффективны при реше-нии матриц большой размерности из-за выпол-нения чрезмерного числа арифметических операций; область применения зависит от свойства сходимости; приводит к необходимос-ти затраты большого количества времени при решении системы из-за кубической зависимость числа арифметических операций от размера матрицы экономичны,  в плане затраты машинного времени и  использования оперативной памяти т. к. время решения, пропорционально квадрату размера матрицы. нет сведений о точности полученного решения; позволяют получить решение с любой заданной точностью.
25. два этапа решения численного решения трансцендентных уравнений

два этапа: локализация (отделение) корней, т.е. нахождение таких отрезков на оси x, в пределах которых содержится один единственный корень, и уточнение корней, т.е. вычисление приближенных значений корней с заданной точностью.

Локализация корней. Для отделения корней уравнения (2.1) необходимо иметь критерий, позволяющий убедится, что, во-первых, на рассматриваемом отрезке   имеется корень, а, во-вторых, что этот корень единственный на указанном отрезке. Если функция   непрерывна на отрезке  ,  а на концах отрезка её значения имеют разные знаки  , то на этом отрезке расположен, по крайней мере, один корень. 

Воспользовавшись этим критерием можно отделить корни аналитическим способом, находя интервалы монотонности функции.

Отделение корней можно выполнить графически, если удается построить график функции 

 Уточнение корней. На данном этапе задача состоит в получении приближенного значения корня, принадлежащего отрезку  , с заданной точностью (погрешностью) . Это означает, что вычисленное значение корня   должно отличаться от точного    не более чем на величину : 

. 

Процедура численного определения приближенных значений корней нелинейных уравнений, как правило, состоит в выборе начального приближенияк корню   и вычислении по некоторой формуле последующих приближений  ,   и т.д. Каждый такой шаг называется итерацией (от латинскогоiteratio – повторение), а сами методы уточнения – итерационными методами. В результате итераций получается последовательность приближенных значений корня  , которая называется итерационной последовательностью.  Если эти значения с ростом k стремятся к  точному значению корня