4. Решение трансцендентных уравнений методом секущих.

Геометрическое описание метода секущих

Будем искать нуль функции  . Выберем две начальные точки   и   и проведем через них прямую. Она пересечет ось абсцисс в точке  . Теперь найдем значение функции с абсциссой  . Временно будем считать   корнем на отрезке  . Пусть точка   имеет абсциссу   и лежит на графике. Теперь вместо точек   и   мы возьмём точку   и точку  . Теперь с этими двумя точками проделаем ту же операцию и так далее, то есть будем получать две точки  и   и повторять операцию с ними. Отрезок, соединяющий последние две точки, пересекает ось абсцисс в точке, значение абсциссы которой можно приближённо считать корнем. Эти действия нужно повторять до тех пор, пока не получим значение корня с нужным приближением.

Алгебраическое описание метода секущих

Пусть   — абсциссы концов хорды,   — уравнение секущей, содержащей хорду. Найдем коэффициенты   и   из системы уравнений:

.

Вычтем из первого уравнения второе:

, затем найдем коэффициенты   и  :

, тогда

.

Уравнение принимает вид:

Таким образом, теперь можем найти первое приближение к корню, полученное методом секущих:

Теперь возьмем координаты   и   и повторим все проделанные операции, найдя новое приближение к корню. Таким образом, итерационная формула метода секущих имеет вид:

.

Повторять операцию следует до тех пор, пока   не станет меньше или равно заданному значению погрешности.

Метод секущих

Первые три итерации метода хорд. Синим нарисована функция f(x), красными проводятся хорды.

Иногда методом секущих называют метод с итерационной формулой

.

Этот метод можно считать разновидностью метода простой итерации, и он имеет меньшую скорость сходимости. Далее для определённости этот метод будем называть методом хорд, а метод, описанный в предыдущем разделе, методом секущих.

5. Решение трансцендентных уравнений методом простых итераций.

Исходное уравнение (3.1) преобразуем к эквивалентному уравнению:

x = (x).

(3.8)

Пусть известно начальное приближение (полученное, например, на этапе отделения корней): x = x ₀. Подставим его в правую часть (3.8) и получим новое приближение: x₁ = (x₀). Повторяя эту процедуру, будем иметь в общем виде на некотором k-м шаге:

x_k = (x_k-1) .

В качестве условия окончания вычислительного процесса можно взять выполнение неравенства: x_k - x_k-1 < .

Значение x_k, удовлетворяющее ему, и есть корень уравнения F(x, a₁, a₂, ..., a_k) = 0.

Геометрическая интерпретация этого метода приведена на рис.3.8, 3.9. Здесь x^* - истинное, искомое значение корня; x₀ - начальное приближение к корню; x₁, x₂, x₃ - оче­редные итерации.

Рис.3.8.

Рис.3.9.

При испо­ль­зовании этого метода возникает вопрос о его сходимос­ти. Дело в том, что при некоторых условиях расстояние между истинным корнем и прибли­жениями к нему может возрастать с каждой новой итерацией, как это показано на рис.3.10, 3.11.

Рис.3.10.

Рис.3.11.

Условием сходимости метода простых итераций является выполнение в окрестности искомого корня неравенства:

 (x) < 1

(3.9)

Это условие является достаточным, т.е. если оно выполняется, то процесс обязательно схо­­дится; если же условие (3.9) не выполняется или выполняется не во всех точках

x₀, x₁, x₂, ..., x_k, ... ,

то заранее сказать что-либо конкретное о сходимости нельзя.

Итак, для решения уравнения F(x) = 0 методом простых итераций надо преобразо­вать его к уравнению вида x = (x) так, чтобы выполнялось условие  (x) < 1. Схо­димость к истинному корню будет тем быстрее, чем ближе к единице значение (x).

Существует более или менее универсальный способ преобразования уравнения F(x, a₁, a₂, ..., a_k) = 0 к виду x = (x):

F(x) = 0



C . F(x) = 0



C . F(x) + x = x

(3.15)

Здесь C - некоторый параметр, выбираемый из условия сходимости процесса.

При использовании преобразования (3.15) условием окончания вычислительного про­­це­сса является выполнение неравенства

.

В программе необходимо указывать функцию F(x) и вводить вычисленный заранее параметр С и значение допустимой погрешности . Программа должна осуществлять не более 100 итераций. Если за 100 итераций не достигнута требуемая точность, то программа выводит сообщение об отсутствии сходимости и прекращает работу.