Дифференциальные уравнения вращательного, поступательного и плоскопараллельного движения.

Дифференциальные ур-ния поступательного движения твердого тела:   и т.д.  – проекция внешней силы. Все точки тела движутся так же, как и его центр масс С. Для осуществления поступательного движения необходимо, чтобы главный момент всех внешних сил относительно центра масс был равен 0:   =0.

Дифф-ные ур-ния вращения твердого тела вокруг неподвижной оси:   ,

J_z – момент инерции тела относительно оси вращения z,  – момент внешних сил относительно оси вращения (вращающий момент). 

Дифф-ные уравнения плоского движения тв. тела:

;    ;    ,   С – центр масс тела, J_C – момент инерции тела относительно оси, перпендикулярной плоскости движения тела и проходящей через его центр масс.

Классификация связей. Возможные скорости и возможные перемещения механической системы и материальной точки.

Связь называется удерживающей (двухсторонней), если она описывается уравнением (равенством).

Голономную стационарную удерживающую связь, наложенную на материальную точку, можно представить в виде двух бесконечно близких одинаковых поверхностей, между которыми только и может находиться точка. 

Неудерживающая (односторонняя) связь описывается неравенством. Например, если математический маятник представляет собой тонкий стержень длиной l, вращающийся вокруг неподвижной оси и к свободному концу которого прикреплен груз (материальная точка), то связь для груза будет удерживающая. Если же груз прикреплен к свободному концу нерастяжимой нити длиной l. то связь будет неудерживающая, поскольку груз может находиться как на поверхности сферы радиусом l, так и внутри нее.

Связи называются голономными, если они описываются уравнениями вида: 

Такие связи накладывают ограничения на координаты точек, а значит, на положение системы в пространстве. Это так называемые геометрические связи. Вместе с тем голономные связи накладывают ограничения и на скорости точек системы. Соответствующие условия получаются в результате дифференцирования уравнений (18.1) по времени:

Голономные связи могут описываться и дифференциальными уравнениями, однако последние обязательно должны быть интегрируемыми.

Неголономными называются связи, которые описываются уравнениями вида:

Уравнения (18.2), в отличие от уравнений голономных связей, не могут быть проинтегрированы независимо от дифференциальных уравнений движения системы. Неголономные связи накладывают ограничения (18.2) на скорости точек, поэтому их называют кинематическими.

Связи подразделяются на стационарные и нестационарные в зависимости от того, входит в явном виде время в уравнение связи или нет.

Связь, уравнение которой имеет вид  , является голономной и стационарной. Для голономной нестационарной связи уравнение будет таким:  .

Возможные (виртуальные) перемещения системы (s, ) – любая совокупность бесконечно малых перемещений точек системы, допускаемых в данный момент наложенными на систему связями.

Возможная скорость системы – любая возможная скорость, которые может иметь несвободная система, не нарушая наложенные на нее связи в данный момент времени

Принцип Даламбера. Основные уравнения кинетостатики.

Принцип Даламбера для системы: если в любой момент времени к каждой из точек системы, кроме фактически действующих на ней внешних и внутренних сил, приложить соответствующие силы инерции, то полученная система сил будет находиться в равновесии, и к ней можно будет применять все уравнения статики.

— принцип Даламбера.

, — уравнения кинетостатики.

Сила инерции: , знак (–) означает, что сила инерции против ускорения.

Главный вектор и главный момент сил инерции механической системы.

– главный вектор сил инерции.

– главный момент сил инерции.

, — уравнения кинетостатики.

Главный вектор сил инерции .

Главный момент сил инерции при плоском движении: , при вращении вокруг оси z: .

Принцип возможных перемещений.

Принцип возможных перемещений: для равновесия механической системы с идеальными связями необходимо и достаточно, чтобы сумма элементарных работ всех действующих на нее активных сил при любом возможном перемещении была равна нулю. или в проекциях: .

Принцип возможных перемещений дает в общей форме условия равновесия для любой механической системы, дает общий метод решения задач статики.

Если система имеет несколько степеней свободы, то уравнение принципа возможных перемещений составляют для каждого из независимого перемещений в отдельности, т.е. будет столько уравнений, сколько система имеет степеней свободы.