20. Учет относительной важности критериев

Различают ситуации принятия решения, в которых существует возможность компенсации ухудшения значений более важных критериев за счет улучшения менее важных.

Информация об относительной важности критериев может задаваться и учитываться в двух формах:

1) в виде коэффициентов относительной важности;

2) в виде компонент вектора приоритетов.

1) Коэффициенты относительной важности задаются в следующем виде:

α = (α₁, α₂,..., α_s);

α_i≥0, i=1,...,s; Σα_i = ;i∈G.

Здесь αi характеризует относительную важность i-го критерия на множестве G.

2) Компоненты вектора приоритетов упорядочены по важности и задаются как

λ =║λ₁, λ₂,..., λs║; здесь λ_j∈ [1, ∞), j = 1,...,s.

Во второй форме задания относительной важности показателей компоненты λ_j характеризуют количество единиц j показателя, позволяющее скомпенсировать снижение (j-1)-го показателя на одну единицу (при этом λ₁=1).

Коэффициенты относительной важности α_iпо известным λ_j могут быть найдены из системы уравнений:

, или в соответствии с формулой ,

где λ_i¹ коэффициент приоритета i-го показателя по отношению к 1-му показателю , здесь λ₁ = 1.

В этой связи целесообразно первоначально формировать ряд приоритетов, а затем с использованием данных формул вычислять значения коэффициентов относительной важности с тем, чтобы определить fрез(x) и найти оптимальное решение x* в результате решения задачи.

21. Оптимизация по последовательно применяемым критериям

Данные ситуации характеризуется наибольшей определенностью, заключающейся в том, что специфика и смысл критериев таковы, что они могут быть жестко упорядочены по важности.

Тогда можно задать ряд предпочтения критериев f = (f₁,f₂,...,fs), в котором каждый предшествующий критерий считается более важным, чем последующий - жесткое задание приоритетов.

Часто, исходя из способов расчета целевых функций, вычислительных погрешностей и с учетом специфики показателей, допускается некоторое отклонение от оптимальных значений показателей (можно назначить уступку).

В обоих случаях поиск оптимального решения осуществляется на основе последовательного сужения множества допустимых альтернатив:

x* ∈ Δ^s⊆ Δ^s-1⊆ ... ⊆ Δ²⊆ Δ¹⊆ Δ.

x* - оптимальное решение;

Δⁱ - сужение множества допустимых альтернатив, произведенное на основе i-го показателя.

Здесь ,

где εi, i=1,...,s - уступка по i-му показателю.

Если εⁱ = 0, то последняя схема соответствует оптимизации по лексикографически упорядоченным критериям.

22. Понятие и операции над нечеткими множествами.

Исследование процессов прин.реш. при управ-ии слож. эк. сис-ми показывает,что анализ. инф-я в больш-ве случаев задается либо на ест. либо на профес.-ориентир. языках. Одним из способов форм. описания ситуации,связ. С неопредел-тью прин. реш. явл. способ,основ. на нечетк. описании основ. элементов формализ. представления ситуации прин. решения.

Нечеткие множества были введены Л.Заде в 1965 г., как средство описания не

вполне различимых объектов и процессов окружающей действительности.

И, если по определению множество - совокупность элементов (объектов), хорошо различимых нашей мыслью или интуицией, то можно определить, что

Н е ч е т к о е м н о ж е с т в о - совокупность объектов, не достаточно хорошо различимых нашей мыслью или интуицией.

Некоторое четкое множество D можно формально задать с использ. индикаторной функции: μD : U → {0, 1},которая принимает значение 1 или 0 в зависимости от того входит элемент универсального множества U в множество D, или нет. Тогда D = { x∈U⏐μD ( x ) = 1}

Обобщая данные понятия на "не вполне различимые объекты", можно определить формальный способ задания нечеткого множества:- нечеткое множество задается множеством пар вида: D = { ( x, μD(x)) }, где μD(x) - степень принадлежности элемента x из универсального множества U к нечеткому множеству D, которая задается функ. принадлежности μD : U → [ 0, 1]

Рассм. основ.определения, связ. с нечеткими множествами. Н о с и т е л е м нечеткого множества D называется четкое множество B(D) = { x ∈U ⏐μD(x) > 0 }.

- высотой нечеткого множества D называется число H(D), такое, что H(D) = sup μD(x), x ∈U . - Нечеткое множество D называется н о р м а л ь н ы м, если H(D) = sup μD(x) = 1, x∈U . Нечеткое множество D называется п у с т ы м, если μD(x) = 0,∀x∈U

Операции над нечеткими множествами.В рез-те теоретико-множественных операций, проводимых наднечетк. множ-ми A = {(x, μA(x))} и B = {(x, μB(x))}, получается нечет. множество C = {(x, μC(x))}. Следов., для задания нечеткого множества C необходимо определить, каким образом вычисляются значения μC(x) по значениям μA(x) и μB(x).Рассмотрим основные теоретико-множественные операции.

Равенство: A = B <==>x∈U, μA(x) = μB(x).

Подмножество: A ⊆ B <==>x∈U, μA(x) , μB(x).

Объединение:C = A ∪ B <==>∀x∈U, μC(x) = max {μA(x), μB(x)}.

Пересечение: C = A ∩ B <==>∀x∈U, μC(x) = min {μA(x), μB(x)}.

Дополнение : C = CuA<==>∀x∈U, μC(x) = 1 - μA(x).

Разность : C = A \ B <==>∀x∈UμC(x) = max {μA(x)-μB(x), 0}.

Декартово произведение: C = A×B <==>∀(x,y)∈U×U μC(x,y) = min{μA(x), μB(y)}.

Дополнительные операции над нечеткими множествами:

Растяжение: C = DIL (A) <==>∀x∈UμC(x) = (μA(x))1/2.

Концентрация: C = CON (A) <==>∀x∈UμC(x) = (μA(x))2.

Нормализация C = N(A) <==>∀x∈UμC(x) = μA(x) / supμA(x).

Нечеткие отношения и отображения.

Нечеткое о т н о ш е н и е R на декартовом произведении множеств A×B - нечеткое множество элементов из A×B, задаваемое функцией принадлежности μR: A × B → [0,1]-опред. в матер.форме.R = { ( (x,y), μR(x,y) ) }.

Пример.

Пусть A=B=N; нечеткое отношение R: "x много больше y ",тогда:

μR(x,y) =0, если x≤ y.

=(1+(1/х-у) 2 )-1 ,если х>у