Решение.

Задание 1

Пусть даны точки A(4; 2; 5), B(0; 7; 2), C(0; 2; 7), D(1; 5; 0).

1. Для того чтобы найти координаты вектора, нужно из координат конца вычесть координаты его начала. Тогда Аналогично находим координаты остальных векторов:

Найдём длины векторов:

Запишем разложение этих векторов по базису :

2. Используя правила действия с векторами, получаем:

1. Внутренний угол ABC определяется как угол между векторами и Предварительно найдём координаты этих векторов: . Затем, используя формулы для вычисления скалярного произведения векторов и длины векторов, найдем косинус внутреннего угла ABC:

Задание 2.

Пусть даны точки A(4; 2; 5), B(0; 7; 2), C(0; 2; 7), D(1; 5; 0).

1. Треугольник ABC построен на векторах и Для вычисления площади основания ABC найдём векторное произведение этих векторов: . Площадь треугольника ABC равна модуля векторного произведения:

2. Пирамида ABCD построена на векторах Объём пирамиды ABCD вычисляется как модуля смешанного произведения этих векторов: . Так как смешанное произведение векторов равно определителю, составленному из координат этих векторов, то . Тогда

3. Длину высоты пирамиды DO, опущенную из вершины D на основание ABC, определим как расстояние от точки D до плоскости ABC. Для этого составим общее уравнение плоскости ABC. Будем использовать уравнение плоскости, проходящей через три точки A, B и C:

x+2y+2z-18=0.

Используя формулу нахождения расстояния от точки до прямой, получаем:

Итак, длина высоты DO равна 2.

Задание 3.

Пусть даны точки A(1; 3; 0), B(4; -1; 2), C(3; 0; 1), D(1; 2; 3).

1. Воспользуемся уравнением плоскости, проходящей через три точки A, B и C:

.

Раскрывая определитель и преобразуя полученное уравнение, получим общее уравнение плоскости ABC: 2x+y-z-5=0.

2. Для составления канонических и параметрических уравнений прямой AD, нам понадобится точка, лежащая на этой прямой (можно взять точку A или D), и направляющий вектор этой прямой. В качестве направляющего вектора прямой AD можно взять вектор Тогда канонические уравнения прямой AD принимают вид:

параметрические:

ЗАДАЧА 7.

Решить систему алгебраических линейных уравнений по правилу Крамера, матричным способом и методом Гаусса.

Пример. Рассмотрим систему алгебраических линейных уравнений:

Решение.

1. Правило Крамера (см.[2] глава 10. стр. 268).

Согласно этому правилу, , где

Находим определитель системы:

Следовательно, система является определённой. Для нахождения её решения вычисляем определители:

По формулам Крамера находим:

2. Матричный способ.

Введём обозначения: Тогда систему можно переписать в виде матричного уравнения: , решение которого находим по формуле Прежде всего найдём матрицу , обратную матрице Определитель системы Следовательно для матрицы существует обратная. Вычислим алгебраические дополнения элементов этого определителя:

Отсюда

Тогда

Итак,

3. Метод Гаусса.

Метод Гаусса состоит в том, что с помощью элементарных преобразований система уравнении приводится к равносильной системе ступенчатого (или треугольного) вида из которой последовательно, начиная с последнего уравнения, легко находят все неизвестные системы.

Составим расширенную матрицу и выполним над ней элементарные преобразования:

Здесь выполнены следующие преобразования:

а) первую и вторую строчки поменяли местами;

б) первую строчку умножили на -2 и сложили со второй, первую строчку умножили на -3 и сложили с третьей;

в) третью строчку разделили на -2;

г) вторую строчку сложили с третьей;

д) третью строчку разделили на 3.

Последней матрице соответствует следующая система уравнений:

Из этой системы последовательно находим: