Тема 6.

1. Что называется вектором?

2. Линейные операции над векторами.

3. Произведения векторов.

4. Вычисление площадей и объемов с помощью векторов.

5. Прямая и плоскость в пространстве. Различные способы задания, взаимное расположение.

Рекомендуемая литература основная литература:

1. Карасей А. И., Аксютина 3. М., Савельева Т. И. Курс высшей математики для экономических вузов. Ч. 1. М.: Высшая

школа, 1982.

2. Кудрявцев В. А., Демидовым Б. П. Краткий курс высшей математики. М.: Наука, 1989.

3. Маркович Э. С. Курс высшей математики с элементами теории вероятностей и математической статистики. М.: Высшая школа, 1972.

4. Высшая и прикладная математика. Конспект лекций. Часть I. Высшая математика. Выпуск 3. Основы математического анализа. М.: МКУ, 1993.

5. Минорский В. И. Сборник задач по высшей математике. М: Наука, 1986.

6. Зайцев М.В., Лавриненко Т.А. Высшая математика. Сборник задач, часть I. М,: изд. МГУК, 1998.

7. Шипачев B.C. Задачник но высшей математике. М.: Высшая школа, 1998.

8. Ефимов А.В. Краткий курс аналитической геометрии. – М.: Наука, 1972.

9. Ильин В.А., Поздняк Э.Г. Линейная алгебра. – М.: Наука, 1974.

10. Клетеник Д.В. Сборник задач по аналитической геометрии. – М.: Наука, 1980.

11. Высшая математика для экономистов (под ред. Проф. Н.М.Кремера). – М.: Банки и биржи, издательское объединение ЮНИТИ, 1998

12. Лавриненко Т.А., Зайцев М.В., Туганбаев А.А. Высшая школа. Сборник задач. Ч. 2. – М.: МГУК, 1999.

13. Бугров Я.С., Никольский С.М. Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии. – М: Наука, 1988.

ДОПОЛНИТЕЛЬНАЯ ЛИТЕРАТУРА.

[1]. Шипачев В. С. Высшая математика. М.: Высшая школа, 1998.

[2]. Данко П. В., Попов А. Г., Кожевникова Т. Я. Высшая математика в упражнениях и задачах. Ч I, II. М.: Высшая школа, 1980.

[3].Задачи и упражнения но математическому анализу для втузов. / Под ред. Б. П. Демидовича. М.: Наука, 1979.

[4].Запорожец Г. И. Руководство к решению задач по математическому анализу. М.: Высшая школа, 3966.

[5]. Ильин В. А., Поздняк Э. Г. Основы математического анализа. Т. 1,2,М.: Наука, 1972.

[6].Высшая математика для экономистов (под ред. проф. Н.М. Кремера). М.: Банки и биржи, издательское объединение ЮНИТИ, 1998.

[7].ФихтенгольцГ. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. М.: Физматгиз, 1962.

Методические указания к решению первой контрольной работы

В этом параграфе приведён разбор решений задач типового варианта контрольной работы по математическому анализу.

ЗАДАЧА 1. Вычислить пределы функций а) —д):

а) 1. .

► = = .

2. .

► .= = = =0.◄

3. ..

► .= = = =-∞.

б) .

Решение. = = = =

= = =

Предел вычислен подстановкой

П

редел не может быть вычислен подстановкой , поскольку в результате подстановки получается неопределенность .

в) .

Анализ задачи. Подстановка числа 2 вместо показывает, что пределы числителя и знаменателя равны нулю. Следовательно, нам потребуется раскрыть неопределенность . Для этого можно либо провести тождественные преобразования выражения , либо применить правило Лопиталя.

Решение. Выражение является сопряженным по отношению к выражению , а выражение - по отношению к . Умножая числитель и знаменатель дроби на произведение сопряженных выражений ( )·( ), и используя формулу разности квадратов , получаем

Другое решение задачи. Воспользуемся правилом Лопиталя

Ответ:

Анализ задачи. В данном случае, непосредственное применение те­оремы о пределе частного невозможного, поскольку, как показывает подстановка числа. -3 вместо x и предел числителя и предел знаме­натели равны пулю.

и

Таким образом, рассматриваемый предел представляет собой неопределённость вида и для решения задачи требуется про­вести тождественные преобразования выражения, находящего­ся под знаком предела.

Решение. Разложим числитель и знаменатель на множители, пользуясь следующей теоремой: если — корни квадратного трехчлена , то ,

= Решаем квадратное уравнение, находя его дискриминант D.

Отсюда,

Аналогично,

Поэтому,

Преобразуем выражение находящиеся под знаком предела:

= =

=

Другое решение задачи. Поскольку пределы числителя и знаменателя при

Равны нулю, применимо правило Лопиталя.

Ответ:10.

д)

Анализ задачи. Подстановка числа 0 вместо x показывает, что пределы числителя и знаменателя при равны нулю. Поэтому, имеет место неопределённость .

Для того, чтобы раскрыть неопределённость можно либо провести тождественные преобразования выражения, либо применить правило Лопиталя.

Решение. Совершим замену неизвестной при этом

Так как при то

Используем теперь тригонометрическую формулу