Шпаргалка по Статистике

1

Случайные события – исход испытания, который не может быть однозначно предопределен (выпадение цифры 2 при бросании игрального кубика).

Событие называется достоверным в данном испытании, если в результате испытания оно обязательно происходит.

Событие называется невозможным в данном испытании, если оно не может произойти в результате испытания.

Случайные события А,А,А…А называются несовместными, если осуществление любого из них в результате исключает осуществление при этом других перечисленных событий.

Случайные события А,А,А…А называются совместными, если осуществление одного из них в результате испытаний не исключает осуществления при этом других из перечисленных событий.

Случайное событие В называют благоприятствующим для случайного события А, если при наступлении события В обязательно наступает событие А.

Элементарными событиями испытания называют все возможные исходы испытания, взаимно исключающие руг друга.

Совокупность случайных событий А,А,А…А называется полной группой событий для данного испытания, если в результате испытания обязательно происходит только одно из событий этой совокупности.

Случайные события А,А,А…А называются равновозможными для данного испытания, если не существует каких-либо объективных причин, вследствие которых какие-либо из этих событий имели большие возможности для осуществления, чем другие.

2

Классическое определение вероятности случайного события.

Вероятностью Р(А) случайного события А называют отношение m элементарных событий, благоприятствующих событию А, к общему количеству элементарных событий n:,

Свойства:

1. вероятность невозможного события равно 0.

2. вероятность достоверного события равна 1.

Статистическое определение вероятности случайного события.

Отношение числа испытаний, в которых наступило случайное событие А, к общему объему серии проведенных испытаний называется относительной частотой наступления данного события в этой серии испытаний:

Число Р(А), около которого группируются значения относительной частоты р*(А) наступления случайного события А при неограниченном возрастании количества испытаний, называется вероятностью события А в статистическом смысле.



- в отличие от классического подхода требуется проведение испытания.

- вероятность в статистическом смысле нельзя точно определить на основании результатов конечного числа испытаний:

3

Теорема сложения вероятностей для несовместных событий:

Вероятность наступления случайного события А и несовместного с ним события В равна сумме вероятностей этих событий:

Теорема умножения для двух независимых событий:

Вероятность наступления двух независимых случайных событий равна произведению вероятностей этих событий:

Теорема умножения для зависимых испытаний:

Вероятность наступления случайного события А и зависящего от него события В равна произведению вероятности события А на условную вероятность события В:

Случайное событие В называется зависимым от случайного события А, если вероятность наступления события В зависит от того, произошло ли событие А.

Вероятность осуществления случайного события В, вычисленная при условии наступления события А, называется уловной вероятностью события В и обозначается Р(В/А)

Независимые повторные испытания – испытания, удовлетворяющие следующим условиям:

- количество испытаний конечно

- вероятность осуществления случайного события А в каждом из испытаний постоянна.

Формула Бернулли:

Формула Пуассона:

4

Случайная величина – величина, которая в результате эксперимента принимает какое-либо значение из множества ее возможных значений, причем до эксперимента невозможно предсказать ,какое именно. (количество очков, выпадающих при бросании игрального кубика).

СВ называется дискретной, если совокупность всех ее возможных значений представляет собой некоторое конечное или бесконечное, но обязательно счетное множество значений, т.е. такое множество, все элементы которого могут быть пронумерованы и выписаны в соответствующей последовательности. (количество очков, выпадающих при бросании игрального кубика, число посетителей аптеки в течении дня)

СВ называется непрерывной, если множество ее возможных значений представляет собой конечный или бесконечный промежуток числовой оси (рост наугад выбранного студента, масса наугад выбранной таблетки).

Закон распределения ДСВ:

Законом распределения ДСВ называется соответствие между всеми возможными значениями этой СВ и соответствующими им вероятностями.

Основные числовые характеристики ДСВ:

1. математическим ожиданием ДСВ называется сумма произведений каждого из всех ее возможных значений на соответствующие вероятности.

- МО постоянной величины равно этой постоянной величине

- МО произведения постоянного множителя на ДСВ

5

равно произведению этого постоянного множителя на МО данной СВ.

- МО суммы двух СВ равно сумме МО этих величин.

2. Дисперсией ДСВ называется математическое ожидание квадрата отклонения этой величины от ее математического ожидания. (разность МО квадрата СВ от квадрата МО).

- дисперсия постоянной величины равна 0.

- дисперсия произведения постоянного множителя на ДСВ равна произведению квадрата этого множителя на дисперсию данной СВ.

3. Средним квадратическим отклонением ДСВ называется квадратный корень из ее дисперсии.

Функция распределения вероятностей НСВ:

Функция F(x), равная вероятности того, что СВ Х в результате эксперимента примет значение меньшее х, называется функцией распределения данной СВ.

Свойства:

- ФР удовлетворяет неравенству:

- ФР является неубывающей функцией, т.е. из неравенства следует неравенство ФР стремится к 0 при неограниченном убывании ее аргумента и стремится к 1 при неограниченном возрастании.

6

- вероятность того, что НСВ в результате испытания примет значение, принадлежащее инт-лу (а, в), равна приращению ФР на этом интервале:

- вероятность того, что НСВ в рез-те испытания примет определенное значение равна 0 Р(Х=с)=0

Плотность распределения вероятностей НСВ:

Плотностью распределения вероятностей f(x) НСВ Х называется производная ФР этой величины:

Свойства ПРВ:

- Плотность вероятности является неотрицательной функцией.

- Вероятность того, что в рез-те испытания НСВ примет какое-либо значение из интервала (а, в), равна определенному интегралу от плотности вероятности этой СВ.

- Определенный интеграл от до от ПВ НСВ равен 1.

- Определенный интеграл в пределах от до х от ПВ НСВ равен ФР этой СВ.

Основные числовые характеристики НСВ:

1. МО:

2. Дисперсия:

Нормальный закон распределения (закон Гаусса):

НСВ распределена по нормальному закону, если ее ПВ имеет вид:

7

Кривая Гаусса:

Вероятность попадания значения нормально распределенной величины в заданный инт-л:

где

Правило трех сигм:

Отклонение значений нормально распределенной СВ от ее МО по абсолютной величине практически не превышают ее утроенного среднего квадратического отклонения.